- Montrer que si $~(x,y)~$ est solution de $~(E)~$ alors $~a\mid d~$
- on pose: $d=ac$ tel que: $c\in \mathbb{N^*}$. démontrer alors que: $c(a^2+ab+b^2)=13$
- En déduire que: $c=1$
- Résoudre l'équation $(E)$
Bac Sciences Mathématiques & Lycée
Arithmétique
Énoncé avec corrigé détaillé
Conseil méthodologique : Cherchez attentivement cet exercice au brouillon pendant 15 à 30 minutes avant de consulter la solution détaillée ci-dessous.
Énoncé de l'exercice :
Dans $~~\mathbb{N^*}^2,~~$ on considère l'equation:
$$(E):\quad x^2+y^2+xy-13x=0$$
On pose:
$$x=ad\qquad\qquad y=bd\qquad\qquad d=x\land y$$
Solution Détaillée & Corrigé Pas à Pas Corrigé complet
- Soit à résoudre:
$$x^2+y^2+xy-13x=0\qquad (1)$$ On a:
$x=ad \quad y=bd\quad d=x\land y$
Avec ces nouvelles variables l'équation devient:
$$ d(a^2+b^2+ab)=13a\quad (2)$$ cette équation peut être reformulée autrement: $$a(13-d(a+b))=db^2$$ On en déduit:$~~a|db^2$
Or: $~~a\land b^2=a\land b=1$
On en tire: $~~a|d~$ - Si $~a~$ divise $~d~$ alors:
il existe $~c\in\mathbb N^*~~$ tel que: $~~d=ac$.
On trouve en substituant dans l'équation (1): $$c(a^2+ab+b^2)=13$$ $\Rightarrow c|13$ $\Longrightarrow c=1 \quad \mbox{ou}\quad c=13$
$c=13\Longrightarrow a^2+ab+b^2=1$. impossible car: $~~a^2+ab+b^2\geq 3$ $c=1\Longrightarrow a^2+ab+b^2=13$
On distingue les cas:
Il est clair que: $a\leq 3$
$a=1\Longrightarrow b(b+1)=12\Rightarrow b=3$
$a=2\Longrightarrow b(b+2)=9~~$ impossible!
$a=3\Longrightarrow b=1~~$ car l'équation est symétrique en $~(a,b)$
Conclusion:
L'ensemble des solution est: $$S=\{(a,b)=(1,3),(3,1)\}$$