- Montrer que:
- $~~(a\land b)+(a\lor b)=a+b\Longleftrightarrow (~a|b ~~\mbox{ ou}~~ b|a~)$
- $~~(a^2+ab+b^2)\land (ab)=(~a\land b~)^2$
- Montrer l'équivalence suivante: $$ a^2|b^2\Longleftrightarrow a|b$$
- En déduire que: $$(\forall~ r\in\mathbb Q^*~):~~~~ r^2\in\mathbb Z\Longleftrightarrow r\in\mathbb Z$$
Bac Sciences Mathématiques & Lycée
Arithmétique
Énoncé avec corrigé détaillé
Conseil méthodologique : Cherchez attentivement cet exercice au brouillon pendant 15 à 30 minutes avant de consulter la solution détaillée ci-dessous.
Énoncé de l'exercice :
Soit $~~(a,b)~~$ des entiers non nuls.
Solution Détaillée & Corrigé Pas à Pas Corrigé complet
- Posons $d=a\land b$
Donc il existe $~(a',b')\in\mathbb Z^2~~$ tels que: $$\begin{cases} a&=da' \\\\b&=db' \\\\a'\land b'&=1 \end{cases}$$ L'equation s'écrit alors:
$$d+da'b'=da'+db'$$ $\Longrightarrow 1+a'b'-a'-b'=(a'-1)(b'-1)=0$
$\Longrightarrow a'=1$~~ ou~~$b'=1\Longrightarrow a=d$~~ou~~$b=d$
$\Longrightarrow (~a|b\quad$ ou $\quad b|a$)
La réciproque est facile. en effet:
Si $\quad a|b\quad $ alors $\quad a\land b=a\quad $ et $\quad a\lor b=b$
Et donc:
$a\land b + a\lor b=a+b \qquad$ C.Q.F.D
En résumé:
$$a\land b +a\lor b=a+b\Longleftrightarrow a|b ~~\mbox{ou}~~ b|a$$ - En gardant les mêmes notations : $$a^2+ab+b^2=d^2(a'^2+a'b'+b'^2)$$ Et: $$ab=d^2(a'b')$$ Ce qui implique: $$(a^2+ab+b^2)\land (ab)=d^2[(a'^2+a'b'+b'^2)\land (a'b')]$$ Et par la suite: $$(a^2+ab+b^2)\land (ab)=d^2=(a\land b)^2$$ Car: $\quad[(a'^2+a'b'+b'^2)\land (a'b')]=a'\land b'=1\qquad $ (Voir Exercice A28)