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Domaine de définition et parité
- Posons $f_n(x) = \sin(a^n x)$. Pour tout $x \in \mathbb{R}$ : \[|f_n(x)| \le |a^n x| = |x|a^n\]
- Comme $a \in ]0, 1[$, la série géométrique $\sum a^n$ converge. Par comparaison, la série numérique $\sum f_n(x)$ converge absolument pour tout $x \in \mathbb{R}$. Le domaine de définition de $f$ est $\mathcal{D}_f = \mathbb{R}$.
- Pour tout $x \in \mathbb{R}$ : \[f(-x) = \sum_{n=0}^{+\infty} \sin(-a^n x) = -\sum_{n=0}^{+\infty} \sin(a^n x) = -f(x)\] La fonction $f$ est impaire.
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Continuité sur $\mathbb{R}$
- Soit $M > 0$. Pour tout $x \in [-M, M]$ et tout $n \in \mathbb{N}$ : \[|f_n(x)| \le M a^n\]
- Le terme majorant est indépendant de $x$ et correspond au terme général d'une série géométrique convergente. La série de fonctions $\sum f_n$ converge normalement sur tout segment $[-M, M]$.
- Les fonctions $f_n$ Ă©tant continues sur $\mathbb{R}$, la convergence uniforme sur tout segment implique que la fonction somme $f$ est continue sur $\mathbb{R}$.
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CaractĂšre lipschitzien sur $\mathbb{R}$
- Pour tous $x, y \in \mathbb{R}$, d'aprÚs l'inégalité des accroissements finis appliquée à la fonction sinus : \[|\sin(a^n x) - \sin(a^n y)| \le a^n |x - y|\]
- On en déduit par inégalité triangulaire : \begin{align*} |f(x) - f(y)| &= \left| \sum_{n=0}^{+\infty} (\sin(a^n x) - \sin(a^n y)) \right| \\ &\le \sum_{n=0}^{+\infty} |\sin(a^n x) - \sin(a^n y)| \\ &\le \sum_{n=0}^{+\infty} a^n |x - y| \\ &\le |x - y| \sum_{n=0}^{+\infty} a^n \end{align*}
- En évaluant la somme de la série géométrique, on obtient : \[|f(x) - f(y)| \le \frac{1}{1-a} |x - y|\] La fonction $f$ est donc lipschitzienne sur $\mathbb{R}$ de rapport $\frac{1}{1-a}$.
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Classe $\mathcal{C}^1$ sur $\mathbb{R}$ et calcul de $f'(0)$
- Pour tout $n \in \mathbb{N}$, $f_n$ est de classe $\mathcal{C}^1$ sur $\mathbb{R}$ avec : \[f_n'(x) = a^n \cos(a^n x)\]
- Pour tout $x \in \mathbb{R}$ : \[|f_n'(x)| \le a^n\]
- La série des dérivées $\sum f_n'$ converge normalement sur $\mathbb{R}$ puisque $\sum a^n$ converge.
- D'aprÚs le théorÚme de dérivation des séries de fonctions, $f$ est de classe $\mathcal{C}^1$ sur $\mathbb{R}$.
- On évalue la dérivée en $0$ : \[f'(0) = \sum_{n=0}^{+\infty} f_n'(0) = \sum_{n=0}^{+\infty} a^n = \frac{1}{1-a}\]
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Classe $\mathcal{C}^\infty$ sur $\mathbb{R}$
- Pour tout $n \in \mathbb{N}$, $f_n$ est de classe $\mathcal{C}^\infty$ sur $\mathbb{R}$. Sa dérivée d'ordre $k \ge 1$ s'écrit : \[f_n^{(k)}(x) = a^{nk} \sin\left(a^n x + k\frac{\pi}{2}\right)\]
- Pour tout $x \in \mathbb{R}$ : \[|f_n^{(k)}(x)| \le (a^k)^n\]
- Puisque $a \in ]0, 1[$, on a $a^k \in ]0, 1[$ pour tout $k \ge 1$. La série numérique $\sum (a^k)^n$ est une série géométrique convergente.
- La série des dérivées d'ordre $k$, $\sum f_n^{(k)}$, converge normalement sur $\mathbb{R}$ pour tout entier $k \ge 1$.
- Par application successive du théorÚme de dérivation des séries de fonctions, $f$ est de classe $\mathcal{C}^\infty$ sur $\mathbb{R}$.