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Domaine de définition de $f$
- Posons $f_n(x) = \frac{1}{1 + n^2 x^2}$ pour $n \ge 1$ et $x \in \mathbb{R}$.
- Si $x = 0$, $f_n(0) = 1$. Le terme général ne tend pas vers $0$, la série diverge grossiÚrement.
- Si $x \neq 0$, on a l'Ă©quivalent pour $n \to +\infty$ : \[f_n(x) \sim \frac{1}{x^2 n^2}\]
- La série de Riemann $\sum \frac{1}{n^2}$ est convergente. Par critÚre d'équivalence pour les séries à termes positifs, la série numérique $\sum f_n(x)$ converge.
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Continuité sur $]-\infty, 0[$ et $]0, +\infty[$
- Remarquons que pour tout $x \in \mathcal{D}_f$, $f_n(-x) = f_n(x)$. La fonction $f$ est paire, on peut restreindre l'Ă©tude Ă $]0, +\infty[$.
- Soit $a > 0$. Pour tout $x \in [a, +\infty[$ et tout $n \ge 1$ : \[x^2 \ge a^2 \implies 1 + n^2 x^2 \ge 1 + n^2 a^2\] \[0 \le f_n(x) \le \frac{1}{1 + n^2 a^2} \le \frac{1}{a^2 n^2}\]
- Le terme majorant est indépendant de $x$ et correspond au terme général d'une série numérique convergente. La série $\sum f_n$ converge normalement sur tout intervalle $[a, +\infty[$.
- Puisque les fonctions $f_n$ sont continues sur $\mathbb{R}^*$, la convergence uniforme (induite par la convergence normale) sur tout intervalle de la forme $[a, b] \subset ]0, +\infty[$ implique que $f$ est continue sur $]0, +\infty[$.
- Par symétrie (parité de $f$), la continuité s'étend à $]-\infty, 0[$.