-
Ensemble de définition de $f$
- Posons $f_n(x) = \frac{1}{n}\arctan\!\left(\frac{x}{n}\right)$ pour $n \ge 1$.
- La fonction $\arctan$ Ă©tant impaire, $f_n(-x) = -f_n(x)$. On peut restreindre l'Ă©tude de la convergence simple Ă $\mathbb{R}^+$.
- Pour $x = 0$, $f_n(0) = 0$, la série converge.
- Pour $x > 0$, au voisinage de l'infini, on a l'Ă©quivalent : \[f_n(x) \sim \frac{x}{n^2}\]
- La série de Riemann $\sum \frac{1}{n^2}$ est convergente. Par critÚre d'équivalence pour les séries à termes de signe constant, la série numérique $\sum f_n(x)$ converge pour tout $x \in \mathbb{R}^+$.
- Par imparité, la convergence s'étend à $\mathbb{R}^-$.
-
Classe $\mathcal{C}^1$ sur $\mathbb{R}$
- Pour tout $n \ge 1$, la fonction $f_n$ est de classe $\mathcal{C}^1$ sur $\mathbb{R}$ avec : \[f_n'(x) = \frac{1}{n} \times \frac{\frac{1}{n}}{1 + \left(\frac{x}{n}\right)^2} = \frac{1}{n^2 + x^2}\]
- Pour tout $x \in \mathbb{R}$ et tout $n \ge 1$ : \[|f_n'(x)| \le \frac{1}{n^2}\]
- Le terme majorant est le terme général d'une série numérique convergente, indépendant de $x$. La série des dérivées $\sum f_n'$ converge donc normalement sur $\mathbb{R}$.
- Les $f_n$ étant de classe $\mathcal{C}^1$ sur $\mathbb{R}$ et la série $\sum f_n(x)$ convergeant simplement sur $\mathbb{R}$, le théorÚme de dérivation des séries de fonctions s'applique.