1. Domaine de définition
    • Posons $f_n(x) = \ln\left(1 + \frac{x}{n^2}\right)$ pour $x \in \mathbb{R}^+$ et $n \ge 1$.
    • Pour tout $x \ge 0$, $1 + \frac{x}{n^2} \ge 1 > 0$, la fonction $f_n$ est donc bien définie sur $\mathbb{R}^+$.
    • À $x \in \mathbb{R}^+$ fixé, on a l'équivalent lorsque $n \to +\infty$ : \[f_n(x) \sim \frac{x}{n^2}\]
    • La série de Riemann $\sum \frac{1}{n^2}$ est convergente. Par critère d'équivalence pour les séries à termes positifs, la série numérique $\sum f_n(x)$ converge.
    Le domaine de définition de $f$ est $\mathbb{R}^+$.
  2. Continuité sur $\mathbb{R}^+$
    • Soit $a > 0$. Pour tout $x \in [0, a]$ et tout $n \ge 1$, par croissance de la fonction logarithme : \[0 \le f_n(x) \le \ln\left(1 + \frac{a}{n^2}\right) = f_n(a)\]
    • La série numérique $\sum f_n(a)$ est convergente (d'après la première question). Ainsi, la série de fonctions $\sum f_n$ converge normalement sur le segment $[0, a]$.
    • Les fonctions $f_n$ étant continues sur $\mathbb{R}^+$, la convergence uniforme (induite par la convergence normale) sur tout segment de $\mathbb{R}^+$ garantit que $f$ est continue sur $\mathbb{R}^+$.
  3. Classe $\mathcal{C}^1$ sur $\mathbb{R}^+$
    • Pour tout $n \ge 1$, la fonction $f_n$ est de classe $\mathcal{C}^1$ sur $\mathbb{R}^+$ avec : \[f_n'(x) = \frac{\frac{1}{n^2}}{1 + \frac{x}{n^2}} = \frac{1}{n^2 + x}\]
    • Pour tout $x \in \mathbb{R}^+$ : \[|f_n'(x)| \le \frac{1}{n^2}\]
    • La majoration est indépendante de $x$ et le terme majorant est le terme général d'une série de Riemann convergente. La série des dérivées $\sum f_n'$ converge donc normalement sur $\mathbb{R}^+$.
    D'après le théorème de dérivation des séries de fonctions, $f$ est de classe $\mathcal{C}^1$ sur $\mathbb{R}^+$.