Continuité de $f$ sur $\mathbb{R}$

• Posons la fonction $f_n$ définie par : \begin{align*} f_n : &\mathbb{R} \longrightarrow \mathbb{R}\\ &x \longmapsto \frac{\sin(2^n x)}{2^n} \end{align*}
• Pour tout $x \in \mathbb{R}$, on a la majoration : \[|f_n(x)| \leq \frac{1}{2^n}\]
• La série numérique $\sum \frac{1}{2^n}$ est une série géométrique convergente de raison $\frac{1}{2} \in \left]-1, 1\right[$.
• La série de fonctions $\sum f_n$ converge donc normalement (et par suite uniformément) sur $\mathbb{R}$.
• Puisque chaque fonction $f_n$ est continue sur $\mathbb{R}$ et que la convergence est uniforme, la fonction somme $f$ est continue sur $\mathbb{R}$.

Calcul de l'intégrale

• La série $\sum f_n$ converge uniformément sur le segment $[0, \pi]$, on peut donc intervertir la série et l'intégrale : \[\int_0^{\pi} f(x)\,dx = \sum_{n=0}^{+\infty} \int_0^{\pi} \frac{\sin(2^n x)}{2^n}\,dx\]
• Calculons l'intégrale du terme général : \begin{align*} \int_0^{\pi} \frac{\sin(2^n x)}{2^n}\,dx &= \left[ -\frac{\cos(2^n x)}{2^{2n}} \right]_0^{\pi} \\ &= \frac{1 - \cos(2^n \pi)}{2^{2n}} \end{align*}
• Si $n = 0$, on a $2^0 = 1$, donc $1 - \cos(\pi) = 1 - (-1) = 2$.
• Si $n \geq 1$, $2^n$ est un entier pair, donc $\cos(2^n \pi) = 1$, ce qui donne $1 - 1 = 0$.
• Ainsi, seul le premier terme de la somme est non nul : \[\int_0^{\pi} f(x)\,dx = \frac{2}{2^0} + 0 + 0 + \dots = 2\]

1. Relation entre $f(2x)$, $f(x)$ et $\sin x$

   • Exprimons $f(2x)$ en modifiant l'indice de sommation : \begin{align*} f(2x) &= \sum_{n=0}^{+\infty} \frac{\sin(2^{n+1} x)}{2^n} \\ &= 2 \sum_{n=0}^{+\infty} \frac{\sin(2^{n+1} x)}{2^{n+1}} \end{align*}
   • En effectuant le changement d'indice $k = n + 1$, on obtient : \[f(2x) = 2 \sum_{k=1}^{+\infty} \frac{\sin(2^k x)}{2^k}\]
   • Or, on peut isoler le premier terme de $f(x)$ pour identifier la somme restante : \[f(x) = \sin(x) + \sum_{k=1}^{+\infty} \frac{\sin(2^k x)}{2^k}\]
   • En substituant dans l'expression de $f(2x)$, il vient : \[f(2x) = 2(f(x) - \sin x)\]
   
   

2. Non-dérivabilité en $0$

   • Supposons par l'absurde que $f$ est dérivable en $0$. Notons $D = f'(0)$.
   • Puisque $f(0) = \sum_{n=0}^{+\infty} 0 = 0$, le taux d'accroissement en $0$ donne, pour $x \neq 0$ : \[\lim_{x \to 0} \frac{f(x)}{x} = D\]
   • Reprenons l'égalité de la question 3.a et divisons par $x$ (avec $x \neq 0$) : \[\frac{f(2x)}{x} = \frac{2f(x)}{x} - \frac{2\sin x}{x}\] Ce qui s'écrit de manière équivalente : \[2 \frac{f(2x)}{2x} = 2 \frac{f(x)}{x} - 2 \frac{\sin x}{x}\]
   • En passant à la limite quand $x \to 0$, sachant que $\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1$ : \[2D = 2D - 2\]
   • On aboutit à l'égalité absurde $0 = -2$.
   • La fonction $f$ n'est donc pas dérivable en $0$.