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Domaine de définition de $f$
- Posons $f_n : \mathbb{R} \longrightarrow \mathbb{R}$ telle que $f_n(x) = \frac{x\,e^{-nx}}{\ln n}$.
- Si $x < 0$, $\lim_{n \to +\infty} f_n(x) = -\infty$, la série diverge.
- Si $x = 0$, $f_n(0) = 0$, la série converge.
- Si $x > 0$, par croissances comparées, $\lim_{n \to +\infty} n^2 f_n(x) = 0$, soit $f_n(x) = o\left(\frac{1}{n^2}\right)$. La série converge.
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Continuité de $f$ sur $\mathbb{R}^+$
- Continuité sur $\mathbb{R}^{+*}$ : Soit $a > 0$. Pour tout $x \in [a, +\infty[$ : \[0 \leq f_n(x) \leq \frac{x\,e^{-nx}}{\ln n}\] La dérivée par rapport à $x$ de $x \mapsto x\,e^{-nx}$ s'annule en $x = \frac{1}{n}$. Pour $n \geq \frac{1}{a}$, la fonction est strictement décroissante sur $[a, +\infty[$. Par conséquent, pour $x \geq a$ et $n \geq \frac{1}{a}$ : \[0 \leq f_n(x) \leq f_n(a)\] La série numérique $\sum f_n(a)$ étant convergente, la série de fonctions $\sum f_n$ converge normalement sur $[a, +\infty[$. Les fonctions $f_n$ étant continues, $f$ est continue sur $\mathbb{R}^{+*}$.
- Continuité en $0$ : Soit $N \geq 2$ et $x > 0$. \begin{align*} 0 \leq f(x) &= \sum_{n=2}^{N} f_n(x) + \sum_{n=N+1}^{+\infty} f_n(x) \\ &\leq x \sum_{n=2}^{N} e^{-nx} + \frac{x}{\ln(N+1)} \sum_{n=N+1}^{+\infty} e^{-nx} \\ &\leq x \sum_{n=2}^{N} e^{-nx} + \frac{1}{\ln(N+1)} \frac{x\,e^{-(N+1)x}}{1-e^{-x}} \\ &\leq x \sum_{n=2}^{N} e^{-nx} + \frac{1}{\ln(N+1)} \frac{x}{1-e^{-x}} \end{align*} Sachant que $\lim_{x \to 0^+} \frac{x}{1-e^{-x}} = 1$, on obtient en passant à la limite quand $x \to 0^+$ (à $N$ fixé) : \[\limsup_{x \to 0^+} f(x) \leq \frac{1}{\ln(N+1)}\] Cette inégalité étant vraie pour tout $N \geq 2$, en faisant tendre $N \to +\infty$, on en déduit que $\lim_{x \to 0^+} f(x) = 0 = f(0)$.
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Classe $\mathcal{C}^1$ sur $\mathbb{R}^{+*}$
- Les fonctions $f_n$ sont de classe $\mathcal{C}^1$ sur $\mathbb{R}^{+*}$ avec : \[f_n'(x) = \frac{1 - nx}{\ln n} e^{-nx}\]
- Soit $a > 0$. Pour $x \in [a, +\infty[$ et $n \geq \frac{1}{a}$ (c'est-à -dire $nx \geq 1$) : \[|f_n'(x)| = \frac{nx - 1}{\ln n} e^{-nx} \leq \frac{nx}{\ln n} e^{-nx}\] La fonction $t \mapsto t\,e^{-t}$ est strictement décroissante pour $t \geq 1$, on a donc $nx\,e^{-nx} \leq na\,e^{-na}$ ce qui donne : \[|f_n'(x)| \leq \frac{a\,n\,e^{-na}}{\ln n}\]
- La série numérique $\sum \frac{n}{\ln n} (e^{-a})^n$ est convergente (rÚgle de d'Alembert ou croissances comparées).
- La série $\sum f_n'$ converge normalement sur tout intervalle $[a, +\infty[$.
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Non-dérivabilité en $0$
- Le taux d'accroissement de $f$ en $0$ pour $x > 0$ s'Ă©crit : \[\frac{f(x) - f(0)}{x - 0} = \sum_{n=2}^{+\infty} \frac{e^{-nx}}{\ln n}\]
- Pour un entier $N \geq 2$ arbitrairement fixé : \[\frac{f(x)}{x} \geq \sum_{n=2}^{N} \frac{e^{-nx}}{\ln n}\]
- En passant Ă la limite quand $x \to 0^+$ : \[\liminf_{x \to 0^+} \frac{f(x)}{x} \geq \sum_{n=2}^{N} \frac{1}{\ln n}\]
- La série de terme général $\frac{1}{\ln n}$ étant divergente, on obtient en faisant tendre $N \to +\infty$ : \[\lim_{x \to 0^+} \frac{f(x)}{x} = +\infty\]