Définition et continuité sur $ \mathbb{R} $

• Pour tout $ x \in \mathbb{R} $, on a $ u_n(x) \underset{n \to +\infty}{\sim} \frac{2x}{n^2} $.
• La série de Riemann $ \sum \frac{1}{n^2} $ étant convergente, la série numérique $ \sum u_n(x) $ converge. L'application $ f $ est donc bien définie sur $ \mathbb{R} $.
• Soit $ A > 0 $. Pour tout $ x \in [-A, A] $ et tout $ n \in \mathbb{N}^* $ : \[ |u_n(x)| = \frac{2|x|}{x^2+n^2} \leq \frac{2A}{n^2} \]
• La série numérique $ \sum \frac{2A}{n^2} $ est convergente, donc la série de fonctions $ \sum u_n $ converge normalement sur tout segment $ [-A, A] $.
• Les fonctions $ u_n $ étant continues sur $ \mathbb{R} $, on en déduit que $ f $ est continue sur $ \mathbb{R} $.

Encadrement et limite en $ +\infty $

1. Inégalités avec $ f_x(t) $

   • Pour $ x > 0 $ fixé, la fonction $ t \mapsto f_x(t) = \frac{2x}{x^2+t^2} $ est strictement décroissante sur $ \mathbb{R}^+ $.
   • Soit $ n \in \mathbb{N}^* $. Pour tout $ t \in [n, n+1] $, on a par décroissance : $ f_x(n+1) \leq f_x(t) \leq f_x(n) $.
   • En intégrant sur $ [n, n+1] $ (intervalle de longueur 1) : \[ \int_n^{n+1} f_x(n+1) \,dt \leq \int_n^{n+1} f_x(t) \,dt \leq \int_n^{n+1} f_x(n) \,dt \]
   • Ce qui donne $ f_x(n+1) \leq \int_n^{n+1} f_x(t) \,dt \leq f_x(n) $.
   • Par un décalage d'indice sur l'inégalité de gauche, on obtient la majoration pour $ f_x(n) $ sur l'intervalle $ [n-1, n] $. On en déduit bien : \[ \int_n^{n+1} f_x(t) \,dt \leq \frac{2x}{x^2+n^2} \leq \int_{n-1}^{n} f_x(t) \,dt \]

2. Encadrement de $ f(x) $ et calcul de la limite

   • En sommant les inégalités précédentes de $ n=1 $ à $ N $ (avec $ N \geq 1 $) : \[ \sum_{n=1}^N \int_n^{n+1} f_x(t) \,dt \leq \sum_{n=1}^N \frac{2x}{x^2+n^2} \leq \sum_{n=1}^N \int_{n-1}^{n} f_x(t) \,dt \]
   • Par la relation de Chasles : \[ \int_1^{N+1} f_x(t) \,dt \leq \sum_{n=1}^N u_n(x) \leq \int_0^{N} f_x(t) \,dt \]
   • En faisant tendre $ N $ vers $ +\infty $ : \[ \int_1^{+\infty} f_x(t) \,dt \leq f(x) \leq \int_0^{+\infty} f_x(t) \,dt \]
   • Une primitive de $ f_x(t) $ par rapport à $ t $ est $ 2\arctan\left(\frac{t}{x}\right) $. Ainsi : \[ \int_0^{+\infty} f_x(t) \,dt = 2\left[\frac{\pi}{2} - 0\right] = \pi \] \[ \int_1^{+\infty} f_x(t) \,dt = 2\left[\frac{\pi}{2} - \arctan\left(\frac{1}{x}\right)\right] = \pi - 2\arctan\left(\frac{1}{x}\right) \]
   • On obtient donc l'encadrement suivant pour tout $ x > 0 $ : \[ \pi - 2\arctan\left(\frac{1}{x}\right) \leq f(x) \leq \pi \]
   • Comme $ \lim_{x \to +\infty} \arctan\left(\frac{1}{x}\right) = 0 $, le théorème des gendarmes permet de conclure : \[ \lim_{x \to +\infty} f(x) = \pi \]