1. Développement en série de la fraction
    • Pour tout $ x \in \mathbb{R} $, on peut factoriser le dĂ©nominateur : \[ \frac{1}{1 - 2e^{ix}} = \frac{1}{-2e^{ix} \left(1 - \frac{e^{-ix}}{2}\right)} = -\frac{e^{-ix}}{2} \frac{1}{1 - \frac{e^{-ix}}{2}} \]
    • On remarque que $ \left|\frac{e^{-ix}}{2}\right| = \frac{1}{2} < 1 $. On peut donc utiliser le dĂ©veloppement en sĂ©rie gĂ©omĂ©trique $ \frac{1}{1-q} = \sum_{k=0}^{+\infty} q^k $ : \[ \frac{1}{1 - 2e^{ix}} = -\frac{e^{-ix}}{2} \sum_{k=0}^{+\infty} \left(\frac{e^{-ix}}{2}\right)^k = -\sum_{k=0}^{+\infty} \frac{e^{-i(k+1)x}}{2^{k+1}} \]
    • En effectuant le changement d'indice $ p = k + 1 $, on obtient bien : \[ \forall x \in \mathbb{R}, \quad \frac{1}{1 - 2e^{ix}} = -\sum_{p=1}^{+\infty} \frac{e^{-ipx}}{2^p} \]
  2. Calcul de l'intégrale $ I_n $
    • En remplaçant la fraction par son dĂ©veloppement en sĂ©rie, l'intĂ©grale s'Ă©crit : \[ I_n = \int_0^{2\pi} e^{inx} \left( -\sum_{p=1}^{+\infty} \frac{e^{-ipx}}{2^p} \right) dx = -\int_0^{2\pi} \sum_{p=1}^{+\infty} \frac{e^{i(n-p)x}}{2^p} \,dx \]
    • Soit $ u_p(x) = \frac{e^{i(n-p)x}}{2^p} $. Pour tout $ x \in [0, 2\pi] $, on a $ |u_p(x)| = \frac{1}{2^p} $.
    • La sĂ©rie numĂ©rique $ \sum \frac{1}{2^p} $ est une sĂ©rie gĂ©omĂ©trique convergente. La sĂ©rie de fonctions $ \sum u_p $ converge donc normalement, et par suite uniformĂ©ment, sur $ [0, 2\pi] $.
    • On peut intervertir la somme et l'intĂ©grale : \[ I_n = -\sum_{p=1}^{+\infty} \frac{1}{2^p} \int_0^{2\pi} e^{i(n-p)x} \,dx \]
    • Or, $ \int_0^{2\pi} e^{ikx} \,dx $ vaut $ 2\pi $ si $ k = 0 $ et $ 0 $ si $ k \in \mathbb{Z}^* $. Ainsi, l'intĂ©grale de chaque terme est non nulle uniquement pour $ p = n $.
    • On distingue deux cas :
      • Si $ n \leq 0 $ : l'indice $ p \in \mathbb{N}^* $ ne peut jamais ĂȘtre Ă©gal Ă  $ n $. Tous les termes de la somme sont nuls, donc $ I_n = 0 $.
      • Si $ n \geq 1 $ : un unique terme de la somme est non nul (lorsque $ p = n $). \[ I_n = -\frac{1}{2^n} \times 2\pi = -\frac{\pi}{2^{n-1}} \]
  3. Calcul de l'intégrale paramétrée
    • Pour $ z \in \mathbb{C}^* $ et $ r \in ]0, |z|[ $, on factorise le dĂ©nominateur par $ z $ : \[ \frac{1}{z - re^{ix}} = \frac{1}{z\left(1 - \frac{r}{z}e^{ix}\right)} \]
    • Comme $ \left|\frac{r}{z}e^{ix}\right| = \frac{r}{|z|} < 1 $, on dĂ©veloppe en sĂ©rie gĂ©omĂ©trique : \[ \frac{1}{z - re^{ix}} = \frac{1}{z} \sum_{p=0}^{+\infty} \left(\frac{r}{z}e^{ix}\right)^p = \sum_{p=0}^{+\infty} \frac{r^p}{z^{p+1}} e^{ipx} \]
    • Le module du terme gĂ©nĂ©ral est $ \frac{r^p}{|z|^{p+1}} $. Puisque $ \frac{r}{|z|} < 1 $, la sĂ©rie numĂ©rique gĂ©omĂ©trique correspondante converge. La convergence de la sĂ©rie de fonctions est normale sur $ [0, 2\pi] $, ce qui justifie l'interversion somme-intĂ©grale : \[ \int_0^{2\pi} \frac{dx}{z - re^{ix}} = \sum_{p=0}^{+\infty} \frac{r^p}{z^{p+1}} \int_0^{2\pi} e^{ipx} \,dx \]
    • De la mĂȘme maniĂšre qu'Ă  la question prĂ©cĂ©dente, $ \int_0^{2\pi} e^{ipx} \,dx $ est non nulle uniquement pour $ p = 0 $, et elle vaut alors $ 2\pi $.
    • La somme se rĂ©duit strictement Ă  son premier terme : \[ \int_0^{2\pi} \frac{dx}{z - re^{ix}} = \frac{r^0}{z^{0+1}} \times 2\pi = \frac{2\pi}{z} \]