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Développement en série de la fraction
- Pour tout $ x \in \mathbb{R} $, on peut factoriser le dénominateur : \[ \frac{1}{1 - 2e^{ix}} = \frac{1}{-2e^{ix} \left(1 - \frac{e^{-ix}}{2}\right)} = -\frac{e^{-ix}}{2} \frac{1}{1 - \frac{e^{-ix}}{2}} \]
- On remarque que $ \left|\frac{e^{-ix}}{2}\right| = \frac{1}{2} < 1 $. On peut donc utiliser le développement en série géométrique $ \frac{1}{1-q} = \sum_{k=0}^{+\infty} q^k $ : \[ \frac{1}{1 - 2e^{ix}} = -\frac{e^{-ix}}{2} \sum_{k=0}^{+\infty} \left(\frac{e^{-ix}}{2}\right)^k = -\sum_{k=0}^{+\infty} \frac{e^{-i(k+1)x}}{2^{k+1}} \]
- En effectuant le changement d'indice $ p = k + 1 $, on obtient bien : \[ \forall x \in \mathbb{R}, \quad \frac{1}{1 - 2e^{ix}} = -\sum_{p=1}^{+\infty} \frac{e^{-ipx}}{2^p} \]
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Calcul de l'intégrale $ I_n $
- En remplaçant la fraction par son développement en série, l'intégrale s'écrit : \[ I_n = \int_0^{2\pi} e^{inx} \left( -\sum_{p=1}^{+\infty} \frac{e^{-ipx}}{2^p} \right) dx = -\int_0^{2\pi} \sum_{p=1}^{+\infty} \frac{e^{i(n-p)x}}{2^p} \,dx \]
- Soit $ u_p(x) = \frac{e^{i(n-p)x}}{2^p} $. Pour tout $ x \in [0, 2\pi] $, on a $ |u_p(x)| = \frac{1}{2^p} $.
- La série numérique $ \sum \frac{1}{2^p} $ est une série géométrique convergente. La série de fonctions $ \sum u_p $ converge donc normalement, et par suite uniformément, sur $ [0, 2\pi] $.
- On peut intervertir la somme et l'intégrale : \[ I_n = -\sum_{p=1}^{+\infty} \frac{1}{2^p} \int_0^{2\pi} e^{i(n-p)x} \,dx \]
- Or, $ \int_0^{2\pi} e^{ikx} \,dx $ vaut $ 2\pi $ si $ k = 0 $ et $ 0 $ si $ k \in \mathbb{Z}^* $. Ainsi, l'intégrale de chaque terme est non nulle uniquement pour $ p = n $.
- On distingue deux cas :
- Si $ n \leq 0 $ : l'indice $ p \in \mathbb{N}^* $ ne peut jamais être égal à $ n $. Tous les termes de la somme sont nuls, donc $ I_n = 0 $.
- Si $ n \geq 1 $ : un unique terme de la somme est non nul (lorsque $ p = n $). \[ I_n = -\frac{1}{2^n} \times 2\pi = -\frac{\pi}{2^{n-1}} \]
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Calcul de l'intégrale paramétrée
- Pour $ z \in \mathbb{C}^* $ et $ r \in ]0, |z|[ $, on factorise le dénominateur par $ z $ : \[ \frac{1}{z - re^{ix}} = \frac{1}{z\left(1 - \frac{r}{z}e^{ix}\right)} \]
- Comme $ \left|\frac{r}{z}e^{ix}\right| = \frac{r}{|z|} < 1 $, on développe en série géométrique : \[ \frac{1}{z - re^{ix}} = \frac{1}{z} \sum_{p=0}^{+\infty} \left(\frac{r}{z}e^{ix}\right)^p = \sum_{p=0}^{+\infty} \frac{r^p}{z^{p+1}} e^{ipx} \]
- Le module du terme général est $ \frac{r^p}{|z|^{p+1}} $. Puisque $ \frac{r}{|z|} < 1 $, la série numérique géométrique correspondante converge. La convergence de la série de fonctions est normale sur $ [0, 2\pi] $, ce qui justifie l'interversion somme-intégrale : \[ \int_0^{2\pi} \frac{dx}{z - re^{ix}} = \sum_{p=0}^{+\infty} \frac{r^p}{z^{p+1}} \int_0^{2\pi} e^{ipx} \,dx \]
- De la même manière qu'à la question précédente, $ \int_0^{2\pi} e^{ipx} \,dx $ est non nulle uniquement pour $ p = 0 $, et elle vaut alors $ 2\pi $.
- La somme se réduit strictement à son premier terme : \[ \int_0^{2\pi} \frac{dx}{z - re^{ix}} = \frac{r^0}{z^{0+1}} \times 2\pi = \frac{2\pi}{z} \]
Exercice : Calcul d'intégrales par les séries de Fourier
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Calcul de $ I_n $ par identification des coefficients
Soit la fonction $ f(x) = \frac{1}{1 - 2e^{ix}} $.- D'après la première question, on dispose du développement de $ f $ : \[ f(x) = \sum_{p=1}^{+\infty} -\frac{1}{2^p} e^{-ipx} \]
- On reconnaît le développement en série de Fourier complexe de $ f(x) = \sum_{k=-\infty}^{+\infty} c_k e^{ikx} $.
- Par unicité des coefficients de Fourier, on identifie en posant $ k = -p $ :
- Pour $ k \leq -1 $ : $ c_k = -\frac{1}{2^{-k}} $
- Pour $ k \geq 0 $ : $ c_k = 0 $
- L'intégrale cherchée est $ I_n = \int_0^{2\pi} f(x) e^{inx} \,dx $.
- Par définition des coefficients de Fourier, $ c_k = \frac{1}{2\pi} \int_0^{2\pi} f(x) e^{-ikx} \,dx $. On en déduit que : \[ I_n = 2\pi c_{-n} \]
- On distingue alors les deux cas :
- Si $ n \leq 0 $, alors $ -n \geq 0 $, d'où $ c_{-n} = 0 $ et $ I_n = 0 $.
- Si $ n \geq 1 $, alors $ -n \leq -1 $, d'où $ c_{-n} = -\frac{1}{2^n} $. \[ I_n = 2\pi \left(-\frac{1}{2^n}\right) = -\frac{\pi}{2^{n-1}} \]
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Calcul de l'intégrale paramétrée par le coefficient $ c_0 $
- On factorise l'intégrande : \[ \int_0^{2\pi} \frac{dx}{z - re^{ix}} = \frac{1}{z} \int_0^{2\pi} \frac{1}{1 - \frac{r}{z}e^{ix}} \,dx \]
- Soit $ g(x) = \frac{1}{1 - \frac{r}{z}e^{ix}} $. Comme $ \left|\frac{r}{z}\right| < 1 $, on développe en série : \[ g(x) = \sum_{p=0}^{+\infty} \left(\frac{r}{z}\right)^p e^{ipx} \]
- Il s'agit de la série de Fourier de $ g $. L'intégrale $ \int_0^{2\pi} g(x) \,dx $ correspond, par définition, à $ 2\pi c_0 $, où $ c_0 $ est le premier coefficient de la série.
- Par identification avec la somme, pour $ p = 0 $, on a $ c_0 = \left(\frac{r}{z}\right)^0 = 1 $.
- On conclut immédiatement : \[ \int_0^{2\pi} \frac{dx}{z - re^{ix}} = \frac{1}{z} \times (2\pi \times 1) = \frac{2\pi}{z} \]