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Existence et classe $ \mathcal{C}^1 $ de $ S $
Soit $ u_n(x) = \frac{(-1)^n}{n!(x+n)} $.- Pour tout $ x > 0 $ et $ n \in \mathbb{N} $, $ u_n $ est bien définie et de classe $ \mathcal{C}^1 $ sur $ ]0, +\infty[ $, avec $ u_n'(x) = \frac{(-1)^{n+1}}{n!(x+n)^2} $.
- Soit $ a > 0 $. Pour tout $ x \in [a, +\infty[ $ : \[ |u_n(x)| \leq \frac{1}{n! a} \quad \text{et} \quad |u_n'(x)| \leq \frac{1}{n! a^2} \]
- Les séries numériques $ \sum \frac{1}{n! a} $ et $ \sum \frac{1}{n! a^2} $ sont convergentes car proportionnelles à la série exponentielle $ \sum \frac{1}{n!} $.
- Les séries de fonctions $ \sum u_n $ et $ \sum u_n' $ convergent donc normalement, et par suite uniformément, sur tout intervalle $ [a, +\infty[ \subset ]0, +\infty[ $.
- On en déduit que $ S $ est bien définie et de classe $ \mathcal{C}^1 $ sur son domaine de définition $ ]0, +\infty[ $.
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Relation fonctionnelle
- Pour tout $ x > 0 $ : \[ S(x+1) = \sum_{n=0}^{+\infty} \frac{(-1)^n}{n!(x+n+1)} = \sum_{n=0}^{+\infty} \frac{(-1)^n (n+1)}{(n+1)!(x+n+1)} \]
- En effectuant le changement d'indice $ p = n+1 $ : \[ S(x+1) = \sum_{p=1}^{+\infty} \frac{(-1)^{p-1} p}{p!(x+p)} = -\sum_{p=1}^{+\infty} \frac{(-1)^p (p+x-x)}{p!(x+p)} \]
- En séparant la somme par linéarité : \[ S(x+1) = -\sum_{p=1}^{+\infty} \frac{(-1)^p}{p!} + x\sum_{p=1}^{+\infty} \frac{(-1)^p}{p!(x+p)} \]
- On reconnaßt les séries exponentielles et la série définissant $ S $ : \[ S(x+1) = -\left(e^{-1} - 1\right) + x\left(S(x) - \frac{1}{x}\right) \]
- AprĂšs simplification : \[ S(x+1) = xS(x) - e^{-1} \]
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Ăquivalents aux bornes
- En $ 0^+ $ : On isole le premier terme (pour $ n=0 $) de la somme pour $ x > 0 $. \[ S(x) = \frac{1}{x} + \sum_{n=1}^{+\infty} \frac{(-1)^n}{n!(x+n)} \]
- On majore le reste $ R(x) = \sum_{n=1}^{+\infty} \frac{(-1)^n}{n!(x+n)} $ : \[ |R(x)| \leq \sum_{n=1}^{+\infty} \frac{1}{n!(x+n)} \leq \sum_{n=1}^{+\infty} \frac{1}{n! n} \leq e \]
- $ R(x) $ étant bornée au voisinage de 0, on a $ S(x) = \frac{1}{x} + \mathcal{O}(1) $. Ainsi : \[ S(x) \underset{x \to 0^+}{\sim} \frac{1}{x} \]
- En $ +\infty $ : D'aprĂšs la question 2, on peut Ă©crire $ xS(x) = e^{-1} + S(x+1) $.
- Pour $ x > 0 $, on Ă©tudie la limite de $ S(x+1) $ par majoration : \[ |S(x+1)| \leq \sum_{n=0}^{+\infty} \frac{1}{n!(x+n+1)} \leq \frac{1}{x+1} \sum_{n=0}^{+\infty} \frac{1}{n!} = \frac{e}{x+1} \]
- On a donc $ \displaystyle\lim_{x \to +\infty} S(x+1) = 0 $, ce qui donne $ \displaystyle\lim_{x \to +\infty} xS(x) = e^{-1} $. Ainsi : \[ S(x) \underset{x \to +\infty}{\sim} \frac{e^{-1}}{x} \]