1. Continuité et domaine de définition
    Soit la suite de fonctions définies sur $ \mathbb{R}^+ $ par $ u_n(x) = \frac{e^{-nx}}{n^2+1} $.
    • Pour tout $ x \in [0, +\infty[ $ et tout $ n \in \mathbb{N} $, on a $ |u_n(x)| \leq \frac{1}{n^2+1} $.
    • La sĂ©rie numĂ©rique $ \sum \frac{1}{n^2+1} $ est convergente (par Ă©quivalence Ă  la sĂ©rie de Riemann $ \frac{1}{n^2} $).
    • La sĂ©rie de fonctions $ \sum u_n $ converge donc normalement, et par suite uniformĂ©ment, sur son domaine de dĂ©finition $ [0, +\infty[ $.
    • Les fonctions $ u_n $ Ă©tant continues sur $ [0, +\infty[ $, on en dĂ©duit que $ f $ est continue sur $ [0, +\infty[ $.
  2. Calcul de la limite en $ +\infty $
    • Pour tout $ x > 0 $, on isole le premier terme : \[ f(x) = 1 + \sum_{n=1}^{+\infty} \frac{e^{-nx}}{n^2+1} \]
    • Puisque $ n^2+1 \geq 1 $, on a $ \frac{e^{-nx}}{n^2+1} \leq e^{-nx} $. Ainsi, pour tout $ x > 0 $ : \[ 1 \leq f(x) \leq \sum_{n=0}^{+\infty} e^{-nx} \]
    • On reconnaĂźt la somme d'une sĂ©rie gĂ©omĂ©trique de raison $ e^{-x} \in ]0, 1[ $, ce qui donne : \[ 1 \leq f(x) \leq \frac{1}{1-e^{-x}} \]
    • Comme $ \displaystyle\lim_{x \to +\infty} \frac{1}{1-e^{-x}} = 1 $, le thĂ©orĂšme des gendarmes permet de conclure : \[ \lim_{x \to +\infty} f(x) = 1 \]
  3. Classe $ \mathcal{C}^1 $ sur $ ]0, +\infty[ $
    • Les fonctions $ u_n $ sont de classe $ \mathcal{C}^1 $ sur $ ]0, +\infty[ $ avec $ u_n'(x) = \frac{-n e^{-nx}}{n^2+1} $.
    • Soit $ a > 0 $. Pour tout $ x \in [a, +\infty[ $ : \[ |u_n'(x)| \leq \frac{n e^{-na}}{n^2+1} \leq e^{-na} \]
    • La sĂ©rie gĂ©omĂ©trique $ \sum e^{-na} $ converge (car $ e^{-a} < 1 $). La sĂ©rie $ \sum u_n' $ converge donc normalement sur tout intervalle $ [a, +\infty[ \subset ]0, +\infty[ $.
    • Par consĂ©quent, $ f $ est de classe $ \mathcal{C}^1 $ sur $ ]0, +\infty[ $.
  4. Classe $ \mathcal{C}^2 $ et calcul de $ f''(x) + f(x) $
    • Les fonctions $ u_n $ sont de classe $ \mathcal{C}^2 $ sur $ ]0, +\infty[ $ avec $ u_n''(x) = \frac{n^2 e^{-nx}}{n^2+1} $.
    • Soit $ a > 0 $. Pour tout $ x \in [a, +\infty[ $ : \[ |u_n''(x)| \leq \frac{n^2 e^{-na}}{n^2+1} \leq e^{-na} \]
    • De mĂȘme que prĂ©cĂ©demment, la convergence normale de $ \sum u_n'' $ sur tout intervalle $ [a, +\infty[ $ assure que $ f $ est de classe $ \mathcal{C}^2 $ sur $ ]0, +\infty[ $.
    • On calcule alors : \[ f''(x) + f(x) = \sum_{n=0}^{+\infty} \frac{n^2 e^{-nx}}{n^2+1} + \sum_{n=0}^{+\infty} \frac{e^{-nx}}{n^2+1} = \sum_{n=0}^{+\infty} \frac{(n^2+1)e^{-nx}}{n^2+1} \]
    • AprĂšs simplification, on obtient pour tout $ x > 0 $ : \[ f''(x) + f(x) = \sum_{n=0}^{+\infty} e^{-nx} = \frac{1}{1-e^{-x}} \]