- Convergence simple sur $ \mathbb{R}^+ $ :
- Soit $ x \in \mathbb{R}^+ $. On pose $ v_n(x) = \frac{1}{x+n} $. La série s'écrit $ \sum (-1)^n v_n(x) $.
- Pour $ x $ fixé, la suite $ (v_n(x))_{n \ge 1} $ est positive.
- Puisque $ x+n+1 > x+n $, la suite $ (v_n(x))_{n \ge 1} $ est strictement décroissante.
- De plus, $ \lim_{n \to +\infty} \frac{1}{x+n} = 0 $.
- D'aprÚs le critÚre spécial des séries alternées, la série $ \sum u_n(x) $ converge pour tout $ x \in \mathbb{R}^+ $.
- La série de fonctions converge simplement sur $ \mathbb{R}^+ $.
- Continuité sur $ \mathbb{R}^+ $ :
- La série vérifiant le critÚre spécial des séries alternées pour tout $ x \ge 0 $, le reste d'ordre $ n $, noté $ R_n(x) $, est majoré en valeur absolue par la valeur absolue du premier terme négligé : \[ \forall x \in \mathbb{R}^+, \quad |R_n(x)| \le |u_{n+1}(x)| = \frac{1}{x+n+1} \]
- Puisque $ x \ge 0 $, on a $ x+n+1 \ge n+1 $, ce qui permet de majorer indépendamment de $ x $ : \[ \forall x \in \mathbb{R}^+, \quad |R_n(x)| \le \frac{1}{n+1} \]
- En passant à la borne supérieure, on obtient $ \|R_n\|_\infty \le \frac{1}{n+1} $.
- Comme $ \lim_{n \to +\infty} \frac{1}{n+1} = 0 $, la suite des restes converge uniformément vers 0. La série de fonctions converge donc uniformément sur $ \mathbb{R}^+ $.
- Pour tout $ n \in \mathbb{N}^* $, la fonction $ u_n $ est continue sur $ \mathbb{R}^+ $.
- D'aprÚs le théorÚme de continuité des séries de fonctions, la fonction somme $ f $ est continue sur $ \mathbb{R}^+ $.
- Classe $ \mathcal{C}^1 $ sur $ \mathbb{R}^+ $ :
- Pour tout $ n \in \mathbb{N}^* $, la fonction $ u_n $ est de classe $ \mathcal{C}^1 $ sur $ \mathbb{R}^+ $ et sa dérivée est : \[ u'_n(x) = \frac{(-1)^{n+1}}{(x+n)^2} \]
- On étudie la convergence normale de la série dérivée $ \sum u'_n $ sur $ \mathbb{R}^+ $ : \[ \forall x \in \mathbb{R}^+, \quad |u'_n(x)| = \frac{1}{(x+n)^2} \le \frac{1}{n^2} \]
- La norme infinie vérifie $ \|u'_n\|_\infty \le \frac{1}{n^2} $.
- Puisque la série de Riemann $ \sum \frac{1}{n^2} $ converge, la série de fonctions $ \sum u'_n $ converge normalement (et donc uniformément) sur $ \mathbb{R}^+ $.
- D'aprÚs le théorÚme de dérivation des séries de fonctions, $ f $ est de classe $ \mathcal{C}^1 $ sur $ \mathbb{R}^+ $, et sa dérivée s'obtient par dérivation terme à terme : \[ f'(x) = \sum_{n=1}^{+\infty} \frac{(-1)^{n+1}}{(x+n)^2} \]