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- Convergence normale sur $ \mathbb{R} $ :
- Pour tout $ n \in \mathbb{N}^* $, la fonction $ u_n $ est dérivable sur $ \mathbb{R} $.
- Le calcul de sa dérivée donne : \[ u'_n(x) = \frac{n(1+nx^2) - x(2n^2x)}{n^2(1+nx^2)^2} = \frac{1-nx^2}{n(1+nx^2)^2} \]
- On a $ u'_n(x) = 0 \iff 1 - nx^2 = 0 \iff x = \pm\frac{1}{\sqrt{n}} $.
- L'étude du signe de $ u'_n $ montre que $ |u_n(x)| $ atteint son maximum absolu sur $ \mathbb{R} $ en $ x = \frac{1}{\sqrt{n}} $ (et par imparité en $ -\frac{1}{\sqrt{n}} $).
- On calcule ce maximum : \[ \|u_n\|_\infty = u_n\left(\frac{1}{\sqrt{n}}\right) = \frac{\frac{1}{\sqrt{n}}}{n\left(1+n\frac{1}{n}\right)} = \frac{1}{2n\sqrt{n}} = \frac{1}{2n^{3/2}} \]
- La série de terme général $ \frac{1}{n^{3/2}} $ est une série de Riemann convergente ($ \alpha = \frac{3}{2} > 1 $).
- On en déduit par majoration que la série de fonctions $ \sum u_n $ converge normalement sur $ \mathbb{R} $.
- Imparité et continuité de $ f $ :
- Pour tout $ x \in \mathbb{R} $ et $ n \in \mathbb{N}^* $ : \[ u_n(-x) = \frac{-x}{n(1+n(-x)^2)} = -u_n(x) \]
- En sommant ces égalités, on obtient $ f(-x) = -f(x) $. La fonction somme $ f $ est impaire.
- Pour tout $ n \in \mathbb{N}^* $, la fonction $ u_n $ est continue sur $ \mathbb{R} $.
- Puisque la série de fonctions $ \sum u_n $ converge normalement (donc uniformément) sur $ \mathbb{R} $, le théorÚme de continuité garantit que $ f $ est continue sur $ \mathbb{R} $.
- Convergence normale sur $ \mathbb{R} $ :
- Classe $ \mathcal{C}^1 $ sur $ ]-\infty, 0[ $ et $ ]0, +\infty[ $ :
- Par imparité de $ f $, il suffit d'étudier le caractÚre $ \mathcal{C}^1 $ sur $ ]0, +\infty[ $.
- Soit un segment arbitraire $ [a, b] \subset ]0, +\infty[ $ (ou un intervalle $ [a, +\infty[ $ avec $ a > 0 $). Pour tout $ x \ge a $ : \[ |u'_n(x)| = \left| \frac{1-nx^2}{n(1+nx^2)^2} \right| \le \frac{1+nx^2}{n(1+nx^2)^2} = \frac{1}{n(1+nx^2)} \]
- Puisque $ 1+nx^2 \ge nx^2 \ge na^2 $, on peut majorer indépendamment de $ x $ : \[ \forall x \ge a, \quad |u'_n(x)| \le \frac{1}{n(na^2)} = \frac{1}{a^2 n^2} \]
- En passant à la borne supérieure : $ \|u'_n\|_{\infty, [a, +\infty[} \le \frac{1}{a^2 n^2} $.
- La série de Riemann $ \sum \frac{1}{n^2} $ converge. Par conséquent, la série dérivée $ \sum u'_n $ converge normalement sur tout intervalle $ [a, +\infty[ \subset ]0, +\infty[ $.
- D'aprÚs le théorÚme de dérivation des séries de fonctions, $ f $ est de classe $ \mathcal{C}^1 $ sur $ ]0, +\infty[ $ (et par symétrie, sur $ ]-\infty, 0[ $).
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- Minoration du taux d'accroissement :
- Puisque $ f $ est impaire et continue en 0, $ f(0) = 0 $.
- Pour tout $ x > 0 $, on a : \[ \frac{f(x) - f(0)}{x} = \frac{f(x)}{x} = \frac{1}{x} \sum_{n=1}^{+\infty} \frac{x}{n(1+nx^2)} = \sum_{n=1}^{+\infty} \frac{1}{n(1+nx^2)} \]
- Tous les termes de cette série étant strictement positifs pour $ x > 0 $, la somme infinie de la série est toujours supérieure ou égale à n'importe laquelle de ses sommes partielles. On a donc, pour tout $ N \in \mathbb{N}^* $ : \[ \frac{f(x) - f(0)}{x} \ge \sum_{n=1}^{N} \frac{1}{n(1+nx^2)} \]
- Non-dérivabilité en 0 :
- Raisonnons par l'absurde. Supposons que $ f $ soit dérivable à droite en 0, avec un nombre dérivé fini $ L \in \mathbb{R} $.
- Cela signifierait que $ \lim_{x \to 0^+} \frac{f(x) - f(0)}{x} = L $.
- Soit un entier $ N \in \mathbb{N}^* $ fixé. La somme partielle étudiée en 3.a comporte un nombre fini de termes continus en 0. On peut donc y passer à la limite quand $ x \to 0^+ $ : \[ L \ge \sum_{n=1}^{N} \frac{1}{n(1+0)} = \sum_{n=1}^{N} \frac{1}{n} \]
- Cette inégalité impliquerait que la limite $ L $ majore toutes les sommes partielles de la série harmonique. Or, on sait que la série harmonique diverge : $ \lim_{N \to +\infty} \sum_{n=1}^{N} \frac{1}{n} = +\infty $.
- C'est une contradiction. On en déduit que $ f $ n'est pas dérivable à droite en 0 (la courbe admet une demi-tangente verticale).
- Minoration du taux d'accroissement :