1. 1. Soit $ x \in \mathbb{R}^+ $. Le terme général de la série s'écrit : \[ u_n(x) = \frac{1}{n} - \frac{1}{x+n} = \frac{x}{n(x+n)} \]
   2. Pour $ x $ fixé, on a l'équivalent lorsque $ n \to +\infty $ : \[ u_n(x) \sim \frac{x}{n^2} \]
   3. La série de Riemann $ \sum \frac{1}{n^2} $ converge. Par le théorème d'équivalence des séries à termes positifs, la série $ \sum u_n(x) $ converge.
   4. Le domaine de définition de $ f $ est donc $ \mathbb{R}^+ $.

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2. 1. Soit $ a > 0 $. On étudie la convergence normale sur le segment $ [0, a] $.
   2. Pour tout $ x \in [0, a] $ et $ n \in \mathbb{N}^* $ : \[ 0 \le u_n(x) = \frac{x}{n(x+n)} \le \frac{a}{n^2} \]
   3. On en déduit la majoration de la norme infinie : \[ \|u_n\|_{\infty, [0, a]} \le \frac{a}{n^2} \]
   4. Comme la série $ \sum \frac{1}{n^2} $ converge, la série de fonctions $ \sum u_n $ converge normalement, et donc uniformément, sur tout segment $ [0, a] \subset \mathbb{R}^+ $.
   5. Pour tout $ n \in \mathbb{N}^* $, la fonction $ u_n $ est continue sur $ \mathbb{R}^+ $.
   6. D'après le théorème de continuité des séries de fonctions, la fonction somme $ f $ est continue sur $ \mathbb{R}^+ $.

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3. 1. Pour tout $ x \in \mathbb{R}^+ $, on calcule la différence des sommes partielles au rang $ N $ : \[ \sum_{n=1}^N u_n(x+1) - \sum_{n=1}^N u_n(x) = \sum_{n=1}^N \left( \frac{1}{n} - \frac{1}{x+1+n} \right) - \sum_{n=1}^N \left( \frac{1}{n} - \frac{1}{x+n} \right) \]
   2. Après simplification, on obtient une somme télescopique : \[ \sum_{n=1}^N \left( \frac{1}{x+n} - \frac{1}{x+n+1} \right) = \frac{1}{x+1} - \frac{1}{x+N+1} \]
   3. En passant à la limite quand $ N \to +\infty $, le terme $ \frac{1}{x+N+1} $ tend vers 0. On obtient directement : \[ f(x+1) - f(x) = \frac{1}{x+1} \]

📌 Rappel de cours

1. Théorème d'équivalence pour les séries à termes positifs

• Soient $ \sum u_n $ et $ \sum v_n $ deux séries à termes réels.
• Hypothèses :
  • À partir d'un certain rang, les termes sont de signe constant et positif : $ u_n \ge 0 $ et $ v_n \ge 0 $.
  • Au voisinage de $ +\infty $, on a l'équivalence asymptotique : $ u_n \sim v_n $.
• Conclusion : Les séries $ \sum u_n $ et $ \sum v_n $ sont de même nature (elles convergent toutes les deux, ou elles divergent toutes les deux).

2. Théorème de continuité des séries de fonctions

• Soit $ \sum u_n $ une série de fonctions définies sur un intervalle $ I $ de $ \mathbb{R} $, à valeurs dans $ \mathbb{R} $.
• Hypothèses :
  • Pour tout entier $ n $, la fonction $ u_n $ est continue sur $ I $.
  • La série de fonctions $ \sum u_n $ converge uniformément sur $ I $ (ou converge uniformément sur tout segment $ [a, b] \subset I $ pour assurer la continuité sur $ I $).
• Conclusion : La fonction somme $ S = \sum_{n=0}^{+\infty} u_n $ est continue sur l'intervalle $ I $.