1. Convergence simple sur $ \mathbb{R}^+ $ :
    2. Soit $ x \in \mathbb{R}^+ $. La série étudiée est de la forme $ \sum (-1)^n v_n(x) $ en posant $ v_n(x) = \ln\left(1 + \frac{x}{n(1+x)}\right) $.
    3. Pour tout $ x \ge 0 $ et tout $ n \ge 1 $, $ v_n(x) \ge 0 $.
    4. Pour $ x $ fixé, la suite $ \left(\frac{x}{n(1+x)}\right)_{n \ge 1} $ est décroissante et tend vers 0. Par composition avec la fonction logarithme (qui est strictement croissante), la suite $ (v_n(x))_{n \ge 1} $ est décroissante et de limite nulle.
    5. D'aprÚs le critÚre spécial des séries alternées, la série $ \sum u_n(x) $ converge pour tout $ x \in \mathbb{R}^+ $.
    6. La série de fonctions $ \sum u_n $ converge simplement sur $ \mathbb{R}^+ $.
    1. Convergence uniforme sur $ \mathbb{R}^+ $ :
    2. La série vérifiant le critÚre spécial des séries alternées pour tout $ x \ge 0 $, le reste d'ordre $ n $, noté $ R_n(x) $, est majoré en valeur absolue par la valeur absolue du premier terme négligé : \[ \forall x \in \mathbb{R}^+, \quad |R_n(x)| \le |u_{n+1}(x)| = \ln\left(1 + \frac{x}{(n+1)(1+x)}\right) \]
    3. Or, pour tout $ x \in \mathbb{R}^+ $, on a l'inégalité $ \frac{x}{1+x} < 1 $.
    4. On obtient une majoration du reste totalement indépendante de la variable $ x $ : \[ \forall x \in \mathbb{R}^+, \quad |R_n(x)| \le \ln\left(1 + \frac{1}{n+1}\right) \]
    5. En passant à la borne supérieure, on a $ \|R_n\|_\infty \le \ln\left(1 + \frac{1}{n+1}\right) $.
    6. Puisque $ \lim_{n \to +\infty} \ln\left(1 + \frac{1}{n+1}\right) = 0 $, on en déduit que $ \lim_{n \to +\infty} \|R_n\|_\infty = 0 $.
    7. La suite des restes converge uniformément vers la fonction nulle, ce qui prouve que la série de fonctions $ \sum u_n $ converge uniformément sur $ \mathbb{R}^+ $.
    1. Absence de convergence normale sur $ \mathbb{R}^+ $ :
    2. On étudie la série des normes $ \sum \|u_n\|_\infty $.
    3. La fonction $ x \longmapsto \frac{x}{1+x} = 1 - \frac{1}{1+x} $ est strictement croissante sur $ \mathbb{R}^+ $ et a pour limite 1 en $ +\infty $.
    4. Par composition avec la fonction logarithme, la fonction $ |u_n| $ est strictement croissante sur $ \mathbb{R}^+ $ et sa borne supérieure est atteinte asymptotiquement : \[ \|u_n\|_\infty = \lim_{x \to +\infty} \ln\left(1 + \frac{x}{n(1+x)}\right) = \ln\left(1 + \frac{1}{n}\right) \]
    5. On cherche l'équivalent du terme général lorsque $ n \to +\infty $ : \[ \|u_n\|_\infty \sim \frac{1}{n} \]
    6. La série harmonique $ \sum \frac{1}{n} $ diverge. Par le théorÚme d'équivalence des séries à termes positifs, la série $ \sum \|u_n\|_\infty $ diverge.
    7. La série de fonctions $ \sum u_n $ ne converge donc pas normalement sur $ \mathbb{R}^+ $.