1. Convergence simple de la série $\sum f_n$ :
    1. Soit $x \in \mathbb{R}$.
    2. Si $x < 0$, $\lim_{n \to +\infty} f_n(x) = +\infty$. Le terme général ne tend pas vers 0, la série diverge grossiÚrement.
    3. Si $x = 0$, $\forall n \in \mathbb{N}, f_n(0) = 0$. La série converge.
    4. Si $x > 0$, par le théorÚme des croissances comparées : \[ \lim_{n \to +\infty} n^2 f_n(x) = \lim_{n \to +\infty} n^3 x^2 e^{-x\sqrt{n}} = 0 \]
    5. On en déduit la relation de domination asymptotique : \[ f_n(x) = o\left(\frac{1}{n^2}\right) \]
    6. Par comparaison avec une série de Riemann convergente ($2 > 1$), la série $\sum f_n(x)$ converge.
    7. Le domaine de définition de la fonction somme est $\mathbb{R}^+$. La série converge simplement sur $\mathbb{R}^+$.
  2. Convergence uniforme sur $\mathbb{R}^+$ :
    1. Pour la suite de fonctions $(f_n)$ :
      1. La suite $(f_n)$ converge simplement vers la fonction nulle sur $\mathbb{R}^+$.
      2. On étudie les variations de $f_n$ sur $\mathbb{R}^+$. La fonction est dérivable et : \[ f_n'(x) = n \left( 2x e^{-x\sqrt{n}} - x^2\sqrt{n} e^{-x\sqrt{n}} \right) = nx(2 - x\sqrt{n})e^{-x\sqrt{n}} \]
      3. Sur $\mathbb{R}^+$, $f_n'(x) = 0 \iff x = \frac{2}{\sqrt{n}}$.
      4. Le maximum de la fonction $f_n$ sur $\mathbb{R}^+$ est donc : \[ \|f_n\|_\infty = f_n\left(\frac{2}{\sqrt{n}}\right) = n \left(\frac{4}{n}\right) e^{-2} = \frac{4}{e^2} \]
      5. Puisque $\lim_{n \to +\infty} \|f_n\|_\infty = \frac{4}{e^2} \neq 0$, la suite $(f_n)$ ne converge pas uniformément vers 0 sur $\mathbb{R}^+$.

    2. Pour la série de fonctions $\sum f_n$ :
      1. Une condition nécessaire de convergence uniforme pour une série de fonctions est que la suite de son terme général converge uniformément vers la fonction nulle.
      2. Puisque la suite $(f_n)$ ne converge pas uniformément vers 0 sur $\mathbb{R}^+$, la série $\sum f_n$ ne converge pas uniformément sur $\mathbb{R}^+$.