- Convergence simple sur $ [0, 1] $ :
- Soit $ x \in [0, 1] $.
- Si $ x = 0 $ ou $ x = 1 $, alors pour tout $ n \in \mathbb{N}^* $, $ u_n(x) = 0 $. La série $ \sum u_n(x) $ converge de somme nulle.
- Si $ x \in ]0, 1[ $, on utilise le théorÚme des croissances comparées. Puisque $ |x| < 1 $, la suite géométrique $ x^n $ l'emporte sur toute puissance de $ n $ : \[ \lim_{n \to +\infty} n^2 u_n(x) = \lim_{n \to +\infty} n^{\alpha+2} x^n (1-x) = 0 \]
- On en déduit la relation de domination asymptotique : \[ u_n(x) = o\left(\frac{1}{n^2}\right) \]
- Par comparaison avec une série de Riemann convergente ($ 2 > 1 $), la série $ \sum u_n(x) $ converge.
- Conclusion : La série de fonctions $ \sum u_n $ converge simplement sur $ [0, 1] $ pour tout réel $ \alpha $.
- Convergence normale sur $ [0, 1] $ :
- On cherche la norme infinie $ \|u_n\|_\infty = \sup_{x \in [0,1]} |u_n(x)| $.
- On étudie les variations de la fonction $ f_n : x \longmapsto x^n(1-x) $ sur $ [0, 1] $. Elle est dérivable et : \[ f_n'(x) = n x^{n-1} - (n+1) x^n = x^{n-1}(n - (n+1)x) \]
- Sur $ ]0, 1[ $, $ f_n'(x) = 0 $ si et seulement si $ x = \frac{n}{n+1} $. Ce point correspond au maximum de la fonction $ u_n $ qui est positive sur cet intervalle.
- On calcule la valeur maximale : \[ \|u_n\|_\infty = u_n\left(\frac{n}{n+1}\right) = n^\alpha \left(\frac{n}{n+1}\right)^n \left(1 - \frac{n}{n+1}\right) \] \[ \|u_n\|_\infty = n^\alpha \left(1 - \frac{1}{n+1}\right)^n \frac{1}{n+1} \]
- On détermine un équivalent lorsque $ n \to +\infty $ : \[ \left(1 - \frac{1}{n+1}\right)^n = \exp\left(n \ln\left(1 - \frac{1}{n+1}\right)\right) = \exp\left(n \left(-\frac{1}{n} + o\left(\frac{1}{n}\right)\right)\right) \sim e^{-1} \]
- On obtient ainsi l'équivalent du terme général de la série des normes : \[ \|u_n\|_\infty \sim \frac{n^\alpha}{e \cdot n} = \frac{1}{e \cdot n^{1-\alpha}} \]
- à une constante multiplicative prÚs, on reconnaßt le terme général d'une série de Riemann de paramÚtre $ \beta = 1 - \alpha $.
- D'aprÚs le théorÚme de comparaison des séries à termes positifs, la série $ \sum \|u_n\|_\infty $ converge si et seulement si $ 1 - \alpha > 1 $.
- Conclusion : La série de fonctions $ \sum u_n $ converge normalement sur $ [0, 1] $ si et seulement si $ \alpha < 0 $.