(Centrale 2015)

1. Majoration de $b_k$

   • Considérons la fonction :
     \begin{align*} f : &]0, 1] \longrightarrow \mathbb{R}\\ &x \longmapsto -x \ln x\\ \end{align*}
   • Sa dérivée est $f'(x) = -1 - \ln x$. La fonction $f$ est strictement croissante sur l'intervalle $]0, 1/e]$.
   • Puisque la série $\sum a_n$ converge, son terme général tend vers $0$ : $\lim_{n \to +\infty} a_n = 0$. Il existe donc un rang $k_0 \ge 2$ tel que pour tout $k \ge k_0$, on ait $a_k \le 1/e$.
   • Pour tout $k \ge 2$, on vérifie également que $1/k^3 \le 1/8 < 1/e$.
   • En supposant $a_k \le \frac{1}{k^3}$, la stricte croissance de $f$ sur $]0, 1/e]$ permet d'écrire $f(a_k) \le f\left(\frac{1}{k^3}\right)$.
   • On évalue la fonction :
     \[ f\left(\frac{1}{k^3}\right) = -\frac{1}{k^3} \ln(k^{-3}) = \frac{3 \ln k}{k^3} \]
   • En divisant par $\ln k$ (strictement positif pour $k \ge 2$), on obtient directement :
     \[ b_k = \frac{f(a_k)}{\ln k} \le \frac{3 \ln k}{k^3 \ln k} = \frac{3}{k^3} \]

2. Convergence de la série $\sum b_n$

   • Partitionnons l'ensemble des indices $k \ge k_0$ en deux sous-ensembles : $I_1 = \left\{k \ge k_0 \mid a_k \le \frac{1}{k^3}\right\}$ et $I_2 = \left\{k \ge k_0 \mid a_k > \frac{1}{k^3}\right\}$.
   • Pour $k \in I_1$, on a $0 \le b_k \le \frac{3}{k^3}$. La série de Riemann $\sum \frac{1}{k^3}$ convergeant, la série $\sum_{k \in I_1} b_k$ converge.
   • Pour $k \in I_2$, l'inégalité $a_k > \frac{1}{k^3}$ implique $\ln a_k > -3 \ln k$, ce qui se réécrit $-\frac{\ln a_k}{\ln k} < 3$.
   • On en déduit la majoration :
     \[ b_k = a_k \left(-\frac{\ln a_k}{\ln k}\right) \le 3a_k \]
   • La série $\sum a_n$ étant convergente par hypothèse, la série $\sum_{k \in I_2} b_k$ converge.
   • La série $\sum b_n$ converge car elle est la somme de deux séries convergentes.

3. Convergence de la série $\sum \frac{u_n}{\ln n}$

   • Posons $a_n = -\frac{u_n}{\ln u_n}$. Comme $u_n \in ]0, 1[$, on a bien $a_n > 0$. Par hypothèse, la série $\sum a_n$ converge.
   • La condition nécessaire de convergence donne $\lim_{n \to +\infty} a_n = 0$. La fonction $x \mapsto \frac{-x}{\ln x}$ ne tendant vers $0$ qu'en $0$, on en déduit que $\lim_{n \to +\infty} u_n = 0$.
   • Cherchons un équivalent de $\ln a_n$ au voisinage de l'infini :
     \[ \ln a_n = \ln(u_n) - \ln(-\ln u_n) = \ln(u_n) \left( 1 - \frac{\ln(-\ln u_n)}{\ln u_n} \right) \]
   • Puisque $u_n \to 0$, on a $-\ln u_n \to +\infty$. Par croissances comparées, $\frac{\ln(-\ln u_n)}{\ln u_n} \to 0$, d'où $\ln a_n \sim \ln u_n$.
   • D'après la question 2, la suite $(a_n)$ permet de construire une série convergente $\sum b_n$ où $b_n = -a_n \frac{\ln a_n}{\ln n}$.
   • Déterminons l'équivalent de $b_n$ :
     \[ b_n = a_n \frac{-\ln a_n}{\ln n} \sim \left( \frac{-u_n}{\ln u_n} \right) \frac{-\ln u_n}{\ln n} = \frac{u_n}{\ln n} \]
   • Puisque $b_n \ge 0$ et $\frac{u_n}{\ln n} \ge 0$, le théorème d'équivalence des séries à termes positifs permet de conclure que la série $\sum \frac{u_n}{\ln n}$ converge.