1. Expression de la valeur absolue du reste
    • D'après le théorème des séries alternées, le reste $ r_n(f) $ est du signe de son premier terme, c'est-à-dire $ (-1)^{n+1} $.
    • On obtient ainsi l'égalité $ |r_n(f)| = (-1)^{n+1} r_n(f) $.
    • En développant la somme :
      \[ |r_n(f)| = \sum_{k=n+1}^{+\infty} (-1)^{k-n-1} f(k) = f(n+1) - f(n+2) + f(n+3) - f(n+4) + \dots \]
    • La série étant convergente, la sommation par paquets est licite en regroupant les termes consécutifs par paires :
      \[ |r_n(f)| = \sum_{p=0}^{+\infty} (f(n+2p+1) - f(n+2p+2)) \]
  2. Décroissance de la suite des restes en valeur absolue
    • Étudions le signe de la différence $ |r_n(f)| - |r_{n+1}(f)| $.
    • En utilisant l'expression obtenue à la question précédente :
      \[ |r_n(f)| - |r_{n+1}(f)| = \sum_{p=0}^{+\infty} \left[ (f(n+2p+1) - f(n+2p+2)) - (f(n+2p+2) - f(n+2p+3)) \right] \]
    • La fonction $ f $ étant convexe sur $ ]0, +\infty[ $, son taux d'accroissement est croissant. Pour tout réel $ x > 0 $ :
      \[ f(x+1) - f(x) \le f(x+2) - f(x+1) \]
    • On en déduit que $ (f(x) - f(x+1)) - (f(x+1) - f(x+2)) \ge 0 $.
    • Chaque terme de la somme infinie est positif, donc $ |r_n(f)| - |r_{n+1}(f)| \ge 0 $. La suite $ (|r_n(f)|)_{n \in \mathbb{N}} $ est décroissante.
  3. Convergence de la série des restes
    • On peut écrire $ r_n(f) = (-1)^{n+1} |r_n(f)| $. La série $ \sum r_n(f) $ est donc une série alternée.
    • La suite $ (|r_n(f)|)_{n \in \mathbb{N}} $ est décroissante d'après la question b.
    • Le théorème des séries alternées fournit la majoration $ |r_n(f)| \le f(n+1) $.
    • Comme $ \lim_{x \to +\infty} f(x) = 0 $, le théorème des gendarmes assure que $ \lim_{n \to +\infty} |r_n(f)| = 0 $.
    • Les trois hypothèses du critère spécial des séries alternées sont vérifiées, la série $ \sum_{n \ge 0} r_n(f) $ converge.
  4. Convexité de la fonction $ f_{\alpha} $
    • Considérons la fonction :
      \begin{align*} f_{\alpha} : &]0, +\infty[ \longrightarrow \mathbb{R}\\ &t \longmapsto t^{-\alpha}\\ \end{align*}
    • La fonction $ f_{\alpha} $ est deux fois dérivable sur son domaine d'étude. Ses dérivées successives sont :
      \begin{align*} f_{\alpha}'(t) &= -\alpha t^{-\alpha-1}\\ f_{\alpha}''(t) &= \alpha(\alpha+1) t^{-\alpha-2} \end{align*}
    • Pour $ \alpha > 0 $ et $ t > 0 $, on a strictement $ f_{\alpha}''(t) > 0 $. La fonction $ f_{\alpha} $ est donc convexe sur $ ]0, +\infty[ $.
  5. Simplification de la somme des restes consécutifs
    • Isolons le premier terme du reste d'ordre $ n-1 $ :
      \[ R_{n-1}(\alpha) = \sum_{k=n}^{+\infty} (-1)^k f_{\alpha}(k) = (-1)^n f_{\alpha}(n) + \sum_{k=n+1}^{+\infty} (-1)^k f_{\alpha}(k) \]
    • Ce qui donne $ R_{n-1}(\alpha) = (-1)^n f_{\alpha}(n) + R_n(\alpha) $.
    • En multipliant l'égalité par $ (-1)^n $ et en utilisant $ (-1)^n R_{n-1}(\alpha) = |R_{n-1}(\alpha)| $ ainsi que $ (-1)^n R_n(\alpha) = -|R_n(\alpha)| $ :
      \[ |R_{n-1}(\alpha)| = f_{\alpha}(n) - |R_n(\alpha)| \]
    • On obtient la simplification directe :
      \[ |R_n(\alpha)| + |R_{n-1}(\alpha)| = f_{\alpha}(n) = \frac{1}{n^{\alpha}} \]
  6. Équivalent asymptotique de $ |R_n(\alpha)| $
    • D'après la question b, la suite $ (|R_n(\alpha)|)_{n \in \mathbb{N}} $ est décroissante, ce qui donne les inégalités $ |R_n(\alpha)| \le |R_{n-1}(\alpha)| $ et $ |R_{n+1}(\alpha)| \le |R_n(\alpha)| $.
    • En exploitant la somme de la question e, on a d'une part :
      \[ 2|R_n(\alpha)| \le |R_n(\alpha)| + |R_{n-1}(\alpha)| = \frac{1}{n^{\alpha}} \implies |R_n(\alpha)| \le \frac{1}{2n^{\alpha}} \]
    • Et d'autre part, par décalage d'indice :
      \[ 2|R_n(\alpha)| \ge |R_{n+1}(\alpha)| + |R_n(\alpha)| = \frac{1}{(n+1)^{\alpha}} \implies |R_n(\alpha)| \ge \frac{1}{2(n+1)^{\alpha}} \]
    • On obtient ainsi l'encadrement :
      \[ \frac{1}{2(n+1)^{\alpha}} \le |R_n(\alpha)| \le \frac{1}{2n^{\alpha}} \]
    • Puisque $ (n+1)^{-\alpha} \sim n^{-\alpha} $ quand $ n \to +\infty $, le théorème d'encadrement des équivalents permet de conclure :
      \[ |R_n(\alpha)| \sim \frac{1}{2n^{\alpha}} \]