-
DĂ©veloppement asymptotique de $ u_n $
- On factorise par $ n $ à l'intérieur des logarithmes pour pouvoir utiliser le développement de $ \ln(1+x) $ en $ 0 $ : \[ u_n = \ln(n) + a \ln\left(n\left(1 + \frac{1}{n}\right)\right) + b \ln\left(n\left(1 + \frac{2}{n}\right)\right) \]
- En séparant les logarithmes : \[ u_n = \ln(n) + a\ln(n) + a\ln\left(1 + \frac{1}{n}\right) + b\ln(n) + b\ln\left(1 + \frac{2}{n}\right) \]
- Développements limités à l'ordre 1 (la précision finale souhaitée étant $ \mathcal{O}(1/n^2) $) : \[ u_n = (1 + a + b)\ln(n) + a\left(\frac{1}{n} + \mathcal{O}\left(\frac{1}{n^2}\right)\right) + b\left(\frac{2}{n} + \mathcal{O}\left(\frac{1}{n^2}\right)\right) \]
- Regroupement des termes : \[ u_n = (1 + a + b)\ln(n) + \frac{a + 2b}{n} + \mathcal{O}\left(\frac{1}{n^2}\right) \]
-
Recherche du couple $ (a, b) $ pour la convergence
- Condition nécessaire de convergence : le terme général $ u_n $ doit tendre vers $ 0 $. Cela impose l'annulation du coefficient devant le logarithme : \[ 1 + a + b = 0 \]
- Sous cette condition, on a $ u_n = \frac{a + 2b}{n} + \mathcal{O}\left(\frac{1}{n^2}\right) $.
- La série de terme général $ \mathcal{O}\left(\frac{1}{n^2}\right) $ est absolument convergente. Ainsi, $ \sum u_n $ converge si et seulement si le terme en $ 1/n $ s'annule (car la série harmonique diverge) : \[ a + 2b = 0 \]
- On résout le systÚme linéaire : \[ \begin{cases} a + b = -1 \\ a + 2b = 0 \end{cases} \iff \begin{cases} a = -2b \\ -b = -1 \end{cases} \iff \begin{cases} a = -2 \\ b = 1 \end{cases} \]
- Il existe un unique choix de paramÚtres garantissant la convergence de la série : $ (a, b) = (-2, 1) $.
-
Calcul de la somme $ \sum_{n=1}^{+\infty} u_n $
- Pour le choix $ (a, b) = (-2, 1) $, le terme général s'écrit : \[ u_n = \ln(n) - 2\ln(n+1) + \ln(n+2) \]
- On met en évidence une structure télescopique en réorganisant les termes : \[ u_n = (\ln(n+2) - \ln(n+1)) - (\ln(n+1) - \ln(n)) \]
- Posons $ v_n = \ln(n+1) - \ln(n) $. On a alors $ u_n = v_{n+1} - v_n $.
- Calcul de la somme partielle par télescopage : \[ \sum_{k=1}^n u_k = \sum_{k=1}^n (v_{k+1} - v_k) = v_{n+1} - v_1 \]
- Explicitation des limites : \[ v_1 = \ln(2) - \ln(1) = \ln(2) \] \[ \lim_{n \to +\infty} v_{n+1} = \lim_{n \to +\infty} \ln\left(\frac{n+2}{n+1}\right) = \ln(1) = 0 \]
- La somme de la série est donc : \[ \sum_{n=1}^{+\infty} u_n = 0 - \ln(2) = -\ln(2) \]