Convergence et calcul des sommes pour $ z \in \mathbb{C} $

1. • Il s'agit d'une série géométrique de raison $ z^2 $. Le domaine de définition de la somme est $ \{z \in \mathbb{C} \mid |z| < 1\} $.
   • Pour $ |z| < 1 $ : \[ \sum_{n=1}^{+\infty} z^{2n-1} = z \sum_{n=0}^{+\infty} (z^2)^n = \frac{z}{1 - z^2} \]


2. • Il s'agit de la série exponentielle restreinte aux termes pairs. Le domaine de définition de la somme est $ \mathbb{C} $.
   • Pour tout $ z \in \mathbb{C} $ : \[ \sum_{n=0}^{+\infty} \frac{z^{2n}}{(2n)!} = \frac{e^z + e^{-z}}{2} = \cosh(z) \]


3. • Le domaine de définition de la somme est $ \mathbb{C} $. Le premier terme s'annule.
   • Pour tout $ z \in \mathbb{C} $ : \[ \sum_{n=0}^{+\infty} n \frac{z^n}{n!} = \sum_{n=1}^{+\infty} \frac{z^n}{(n-1)!} = z \sum_{k=0}^{+\infty} \frac{z^k}{k!} = z e^z \]


4. • Le domaine de définition de la somme est $ \mathbb{C} $.
   • On utilise la relation $ n^2 = n(n-1) + n $ : \begin{align*} \sum_{n=0}^{+\infty} n^2 \frac{z^n}{n!} &= \sum_{n=2}^{+\infty} \frac{z^n}{(n-2)!} + \sum_{n=1}^{+\infty} \frac{z^n}{(n-1)!} \\ &= z^2 e^z + z e^z \\ &= (z^2 + z) e^z \end{align*}


5. • Le domaine de définition de la somme est $ \mathbb{C} $.
   • On décompose $ n^3 $ sous la forme $ n(n-1)(n-2) + 3n(n-1) + n $ : \begin{align*} \sum_{n=0}^{+\infty} n^3 \frac{z^n}{n!} &= \sum_{n=3}^{+\infty} \frac{z^n}{(n-3)!} + 3\sum_{n=2}^{+\infty} \frac{z^n}{(n-2)!} + \sum_{n=1}^{+\infty} \frac{z^n}{(n-1)!} \\ &= z^3 e^z + 3z^2 e^z + z e^z \\ &= (z^3 + 3z^2 + z) e^z \end{align*}