Règle de Raabe-Duhamel

1. Convergence de la suite et nature de la série

   • Posons $ v_n = \ln(n^s u_n) $ et étudions la nature de la série télescopique $ \sum (v_{n+1} - v_n) $.
   • On a la relation : \[ v_{n+1} - v_n = s \ln\left(1 + \frac{1}{n}\right) + \ln\left(\frac{u_{n+1}}{u_n}\right) \]
   • Développements asymptotiques : \[ s \ln\left(1 + \frac{1}{n}\right) = \frac{s}{n} + \mathcal{O}\left(\frac{1}{n^2}\right) \] \[ \ln\left(\frac{u_{n+1}}{u_n}\right) = \ln\left(1 - \frac{s}{n} + \mathcal{O}\left(\frac{1}{n^2}\right)\right) = -\frac{s}{n} + \mathcal{O}\left(\frac{1}{n^2}\right) \]
   • Par addition : \[ v_{n+1} - v_n = \mathcal{O}\left(\frac{1}{n^2}\right) \]
   • La série de terme général $ \mathcal{O}\left(\frac{1}{n^2}\right) $ est absolument convergente. La série $ \sum (v_{n+1} - v_n) $ converge donc, ce qui implique que la suite $ (v_n) $ admet une limite finie $ L \in \mathbb{R} $.
   • Par continuité de la fonction exponentielle : \[ \lim_{n \to +\infty} n^s u_n = e^L \] \[ u_n \underset{n \to +\infty}{\sim} \frac{e^L}{n^s} \]
   • Comme $ e^L > 0 $, les règles de comparaison des séries à termes positifs permettent de conclure que la série $ \sum u_n $ converge si et seulement si $ s > 1 $.



2. Exemple : nature de $ \sum_{n \ge 1} p_n $ (Exercice SSN 53)

   • Exprimons le rapport $ \frac{p_{n+1}}{p_n} $ : \[ \frac{p_{n+1}}{p_n} = \frac{3^{n} n!}{3^{n+1} (n+1)!} \frac{\prod_{k=1}^{n+1} (3k - 2)}{\prod_{k=1}^n (3k - 2)} \]
   • Après simplification : \[ \frac{p_{n+1}}{p_n} = \frac{3n + 1}{3(n+1)} = \frac{3n + 1}{3n + 3} \]
   • Recherche du développement asymptotique : \begin{align*} \frac{p_{n+1}}{p_n} &= \frac{1 + \frac{1}{3n}}{1 + \frac{1}{n}} \\ &= \left(1 + \frac{1}{3n}\right)\left(1 - \frac{1}{n} + \mathcal{O}\left(\frac{1}{n^2}\right)\right) \\ &= 1 - \frac{1}{n} + \frac{1}{3n} + \mathcal{O}\left(\frac{1}{n^2}\right) \\ &= 1 - \frac{2}{3n} + \mathcal{O}\left(\frac{1}{n^2}\right) \end{align*}
   • Identification : on a $ s = \frac{2}{3} $.
   • Conclusion : d'après la règle de Raabe-Duhamel, comme $ s \le 1 $, la série $ \sum p_n $ diverge.