Nature des séries et calculs de sommes
- Série $ \sum a_n $ : On a $ \lim_{n \to +\infty} a_n = +\infty $. La série diverge grossièrement.
- Série $ \sum b_n $ : Comme $ 3 + \cos(n) \le 4 $, on a $ b_n \ge \frac{n}{4} $. Ainsi $ \lim_{n \to +\infty} b_n = +\infty $, la série diverge grossièrement.
- Série $ \sum c_n $ : Pour $ n \ge 3 $, $ \ln(n) \ge 1 $, donc $ c_n \ge \frac{1}{\sqrt{n}} $. Par comparaison à une série de Riemann ($ \alpha = 1/2 \le 1 $), la série diverge.
- Série $ \sum d_n $ et calcul de la somme :
Posons $ z = e^{-1+i} $. Comme $ |z| = e^{-1} < 1 $, la série géométrique $ \sum z^n $ converge absolument, donc $ \sum d_n $ converge.
Pour calculer la somme à partir de $ n = 1 $ : \[ \sum_{n=1}^{+\infty} z^n = \frac{z}{1-z} = \frac{1}{e^{1-i} - 1} = \frac{1}{(e\cos(1) - 1) - i e\sin(1)} \]
En multipliant par la quantité conjuguée : \[ \sum_{n=1}^{+\infty} z^n = \frac{e\cos(1) - 1 + i e\sin(1)}{(e\cos(1) - 1)^2 + (e\sin(1))^2} = \frac{e\cos(1) - 1 + i e\sin(1)}{e^2 - 2e\cos(1) + 1} \]
Puisque $ d_n = \text{Re}(z^n) + \text{Im}(z^n) $, on somme les parties réelle et imaginaire : \[ \sum_{n=1}^{+\infty} d_n = \frac{e\cos(1) + e\sin(1) - 1}{e^2 - 2e\cos(1) + 1} \] - Série $ \sum e_n $ : On a $ |e_n| \le \frac{1}{n^{3/2}} $. La série converge absolument (Riemann, $ \alpha = 3/2 > 1 $).
- Série $ \sum f_n $ : Développement asymptotique en $ +\infty $ :
\[ e^{1/n} = 1 + \frac{1}{n} + \frac{1}{2n^2} + o\left(\frac{1}{n^2}\right) \]
\[ \cos(1/n) = 1 - \frac{1}{2n^2} + o\left(\frac{1}{n^2}\right) \quad \text{et} \quad \sin(1/n) = \frac{1}{n} + o\left(\frac{1}{n^2}\right) \]
Par somme, $ f_n = \frac{1}{n^2} + o\left(\frac{1}{n^2}\right) \sim \frac{1}{n^2} $. La série converge. - Série $ \sum g_n $ : En utilisant l'équivalent $ e^u - 1 \sim u $ en $ 0 $ :
\[ g_n = 2^{1/n} \left( e^{\frac{\ln(3/2)}{n}} - 1 \right) \sim 1 \times \frac{\ln(3/2)}{n} \]
Par équivalence avec une série de Riemann divergente, la série diverge. - Série $ \sum h_n $ : Par la règle de Cauchy : $ (h_n)^{1/n} = \frac{n}{2n - 1} \xrightarrow[n \to +\infty]{} \frac{1}{2} < 1 $. La série converge.
- Série $ \sum i_n $ et calcul de la somme :
On remarque que $ i_n = \frac{n+1-1}{(n+1)!} = \frac{1}{n!} - \frac{1}{(n+1)!} $.
Il s'agit d'une série télescopique convergente. Sa somme pour $ n \ge 1 $ est : \[ \sum_{n=1}^{+\infty} i_n = \frac{1}{1!} - \lim_{N \to +\infty} \frac{1}{(N+1)!} = 1 \] - Série $ \sum j_n $ : Pour $ n $ assez grand, $ \ln(n) \le \sqrt{n} $, d'où $ j_n \ge \frac{1}{n} $. Par minoration, la série diverge.
- Série $ \sum k_n $ : La suite $ (k_n) $ est positive et décroissante. Or $ k_n + k_{n+1} = \int_0^1 t^n \, dt = \frac{1}{n+1} $.
Ainsi, $ 2k_{n+1} \le \frac{1}{n+1} \le 2k_n $, ce qui donne $ k_n \sim \frac{1}{2n} $. La série diverge. - Série $ \sum \ell_n $ : Sur $ [0, 1] $, $ e^{-t} \ge e^{-1} $, donc $ \ell_n \ge e^{-1} \int_0^1 t^n \, dt = \frac{1}{e(n+1)} $. Par minoration, la série diverge.
- Série $ \sum m_n $ : Sur $ [0, 1] $, $ 0 \le e^{-t} \le 1 $, donc $ 0 \le m_n \le \int_0^1 t^n(1-t) \, dt = \frac{1}{n+1} - \frac{1}{n+2} = \frac{1}{(n+1)(n+2)} \sim \frac{1}{n^2} $. La série converge.
- Série $ \sum p_n $ : Étudions le rapport :
\[ \frac{p_{n+1}}{p_n} = \frac{3n+1}{3(n+1)} \ge \frac{n}{n+1} \]
On en déduit que $ (n+1)p_{n+1} \ge np_n $. La suite $ (np_n) $ est croissante, donc $ np_n \ge p_1 = \frac{1}{3} $, soit $ p_n \ge \frac{1}{3n} $. La série diverge. - Série $ \sum q_n $ : C'est le terme général de la dérivée de la série géométrique entière. Elle converge absolument si et seulement si $ |x| < 1 $, et diverge grossièrement pour $ |x| \ge 1 $.
- Série $ \sum r_n $ : Par la formule de Stirling ($ n! \sim \left(\frac{n}{e}\right)^n \sqrt{2\pi n} $), on obtient :
\[ r_n \sim \frac{(2n/e)^{2n} \sqrt{4\pi n}}{4^n (n/e)^{2n} (2\pi n)} = \frac{1}{\sqrt{\pi n}} \]
Par équivalence à une série de Riemann ($ \alpha = 1/2 $), la série diverge.