Nature des séries proposées

Nature de la série de terme général $ a_n = 2^{-(\ln(n))^{1/3}} $

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1. Méthode par minoration directe

   1. On écrit le terme général sous forme exponentielle : \[ a_n = \exp\left(-\ln(2)(\ln(n))^{1/3}\right) \]
   2. On compare l'argument de l'exponentielle avec $ -\ln(n) $.
      L'inégalité: $~~ -\ln(2)(\ln(n))^{1/3} \ge -\ln(n) $ équivaut à : \[ \ln(n) \ge \ln(2)(\ln(n))^{1/3} \iff (\ln(n))^{2/3} \ge \ln(2) \]
   3. Cette dernière inégalité est largement vérifiée pour $ n $ assez grand.
   4. Par croissance de la fonction exponentielle, on en déduit qu'à partir d'un certain rang : \[ a_n \ge \exp(-\ln(n)) = \frac{1}{n} \ge 0 \]
   5. La série harmonique $ \sum \frac{1}{n} $ diverge. Par le critère de comparaison pour les séries à termes positifs, la série $ \sum a_n $ est divergente.

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1. Série de terme général $ b_n = (n+1)^{1/n} - n^{1/n} $

   1. On factorise l'expression par $ n^{1/n} $ : \[ b_n = n^{1/n} \left( \left( 1 + \frac{1}{n} \right)^{1/n} - 1 \right) \]
   2. On sait que $ \lim_{n \to +\infty} n^{1/n} = 1 $. On effectue un développement asymptotique du terme entre parenthèses : \[ \left( 1 + \frac{1}{n} \right)^{1/n} = \exp\left( \frac{1}{n} \ln\left( 1 + \frac{1}{n} \right) \right) = \exp\left( \frac{1}{n} \left( \frac{1}{n} + o\left(\frac{1}{n}\right) \right) \right) = \exp\left( \frac{1}{n^2} + o\left(\frac{1}{n^2}\right) \right) \]
   3. En utilisant le développement de l'exponentielle en $ 0 $, on obtient : \[ \exp\left( \frac{1}{n^2} + o\left(\frac{1}{n^2}\right) \right) = 1 + \frac{1}{n^2} + o\left(\frac{1}{n^2}\right) \]
   4. On en déduit l'équivalent en $ +\infty $ : $ b_n \sim \frac{1}{n^2} $.
   5. La série de Riemann $ \sum \frac{1}{n^2} $ converge ($ \alpha = 2 > 1 $). Par critère d'équivalence pour les séries à termes positifs, la série $ \sum b_n $ est convergente.



2. Série de terme général $ c_n = \tan\left(\frac{1}{n}\right) - \sin\left(\frac{1}{n}\right) $

   1. On effectue un développement asymptotique au voisinage de $ 0 $ (quand $ n \to +\infty $) : \[ \tan\left(\frac{1}{n}\right) = \frac{1}{n} + \frac{1}{3n^3} + o\left(\frac{1}{n^3}\right) \] \[ \sin\left(\frac{1}{n}\right) = \frac{1}{n} - \frac{1}{6n^3} + o\left(\frac{1}{n^3}\right) \]
   2. Par soustraction des deux développements : \[ c_n = \frac{1}{3n^3} - \left( -\frac{1}{6n^3} \right) + o\left(\frac{1}{n^3}\right) = \frac{1}{2n^3} + o\left(\frac{1}{n^3}\right) \]
   3. On obtient l'équivalent : $ c_n \sim \frac{1}{2n^3} $.
   4. La série de Riemann $ \sum \frac{1}{n^3} $ converge ($ \alpha = 3 > 1 $). Par critère d'équivalence, la série $ \sum c_n $ est convergente.



3. Série de terme général $ d_n = \frac{n! \, x^n}{n^n} $ (en posant $ x \in \mathbb{R} $)

   1. On applique la règle de d'Alembert en calculant le rapport : \[ \left| \frac{d_{n+1}}{d_n} \right| = \frac{(n+1)! \, |x|^{n+1}}{(n+1)^{n+1}} \frac{n^n}{n! \, |x|^n} = |x| \frac{n^n}{(n+1)^n} = \frac{|x|}{\left( 1 + \frac{1}{n} \right)^n} \]
   2. Sachant que $ \lim_{n \to +\infty} \left( 1 + \frac{1}{n} \right)^n = e $, on a $ \lim_{n \to +\infty} \left| \frac{d_{n+1}}{d_n} \right| = \frac{|x|}{e} $.
   3. Si $ |x| < e $, la série est absolument convergente. Si $ |x| > e $, elle est grossièrement divergente.
   4. Si $ |x| = e $ (ou $ x = -e $), on utilise la formule de Stirling ($ n! \sim \sqrt{2\pi n} \left(\frac{n}{e}\right)^n $) pour obtenir un équivalent : \[ |d_n| = \frac{n! \, e^n}{n^n} \sim \sqrt{2\pi n} \]
   5. Comme $ \lim_{n \to +\infty} |d_n| = +\infty $, le terme général ne tend pas vers $ 0 $. La série diverge grossièrement pour $ |x| = e $.
   6. Conclusion : La série $ \sum d_n $ converge si et seulement si $ x \in \mathopen{]}-e, e\mathclose{[} $.



4. Série de terme général $ e_n = \left(\frac{n+3}{2n+1}\right)^{n \ln(n)} $

   1. On applique la règle de Cauchy en étudiant la limite de $ (e_n)^{1/n} $ : \[ (e_n)^{1/n} = \left(\frac{n+3}{2n+1}\right)^{\ln(n)} = \exp\left( \ln(n) \ln\left(\frac{n+3}{2n+1}\right) \right) \]
   2. On remarque que $ \lim_{n \to +\infty} \frac{n+3}{2n+1} = \frac{1}{2} $, ce qui implique que $ \lim_{n \to +\infty} \ln\left(\frac{n+3}{2n+1}\right) = \ln\left(\frac{1}{2}\right) < 0 $.
   3. Ainsi, l'exposant tend vers $ -\infty $, d'où $ \lim_{n \to +\infty} (e_n)^{1/n} = 0 $.
   4. Comme $ \lim_{n \to +\infty} (e_n)^{1/n} < 1 $, la règle de Cauchy permet de conclure que la série $ \sum e_n $ est convergente.