1. Convergence absolue
    1. On note $ u_n = (-1)^n \sqrt[n]{n} \sin \frac{1}{n} $.
    2. La valeur absolue du terme général est : $ |u_n| = n^{\frac{1}{n}} \sin \frac{1}{n} $.
    3. Recherche d'un Ă©quivalent en $ +\infty $ : on sait que $ \lim_{n \to +\infty} n^{\frac{1}{n}} = 1 $ et $ \sin \frac{1}{n} \sim \frac{1}{n} $.
    4. Par produit d'Ă©quivalents, $ |u_n| \sim \frac{1}{n} $.
    5. La série de terme général $ \frac{1}{n} $ diverge (série de Riemann avec $ \alpha = 1 $). Par critÚre d'équivalence pour les séries à termes positifs, la série $ \sum u_n $ n'est pas absolument convergente.

  2. Convergence simple (Méthode par le critÚre spécial des séries alternées)
    1. Posons $ a_n = \sqrt[n]{n} $ et $ b_n = \sin \frac{1}{n} $.
    2. La suite $ (b_n) $ est positive et strictement décroissante pour $ n \ge 1 $.
    3. Pour Ă©tudier la monotonie de $ (a_n) $, on considĂšre la fonction : \[ \begin{align*} f : &\mathbb{R}_+^* \longrightarrow \mathbb{R}\\ &x \longmapsto \frac{\ln x}{x}\\ \end{align*} \]
    4. La dérivée est $ f'(x) = \frac{1 - \ln x}{x^2} $, qui est strictement négative pour $ x > e $. Ainsi, la suite $ a_n = e^{f(n)} $ est décroissante pour $ n \ge 3 $.
    5. Le produit de deux suites positives et décroissantes est une suite positive et décroissante. Ainsi, $ |u_n| = a_n b_n $ décroßt en tendant vers $ 0 $.
    6. D'aprÚs le critÚre spécial des séries alternées, la série $ \sum u_n $ converge.

  3. Convergence simple (Par développement asymptotique)
    1. On Ă©crit $ u_n $ sous forme exponentielle : $ |u_n| = \exp\left(\frac{\ln n}{n}\right) \sin\left(\frac{1}{n}\right) $.
    2. On effectue un développement asymptotique : \[ |u_n| = \left( 1 + \frac{\ln n}{n} + o\left(\frac{\ln n}{n}\right) \right) \left( \frac{1}{n} + o\left(\frac{1}{n^2}\right) \right) \]
    3. En développant et en multipliant par $ (-1)^n $ : \[ u_n = \frac{(-1)^n}{n} + \frac{(-1)^n \ln n}{n^2} + o\left(\frac{\ln n}{n^2}\right) \]
    4. La série $ \sum \frac{(-1)^n}{n} $ converge (série harmonique alternée).
    5. La série $ \sum \frac{(-1)^n \ln n}{n^2} $ et le terme en $ o $ convergent absolument (critÚres de Bertrand et de Riemann).
    6. Par somme de séries convergentes, la série $ \sum u_n $ converge.
Conclusion : La série $ \sum u_n $ n'étant pas absolument convergente mais simplement convergente, elle est semi-convergente.