- On remarque que le terme général $ v_n $ peut s'écrire sous la forme classique d'un produit de convolution discret : \[ v_n = \sum_{k=0}^{n} u_k \frac{1}{2^{n-k}} \]
- On introduit la série géométrique de terme général $ w_n = \left(\frac{1}{2}\right)^n $.
- Puisque la raison vérifie $ \left|\frac{1}{2}\right| < 1 $, la série $ \sum w_n $ est absolument convergente et sa somme vaut : \[ W = \sum_{n=0}^{+\infty} \left(\frac{1}{2}\right)^n = \frac{1}{1 - \frac{1}{2}} = 2 \]
- Convergence absolue et calcul de la somme :
- La série $ \sum v_n $ est, par définition, le produit de Cauchy des séries $ \sum u_n $ et $ \sum w_n $.
- Par hypothĂšse, $ \sum u_n $ est absolument convergente de somme $ U $. Nous venons de justifier que $ \sum w_n $ est Ă©galement absolument convergente.
- D'aprÚs le théorÚme du produit de Cauchy (ou théorÚme de Mertens), le produit de Cauchy de deux séries absolument convergentes est une série absolument convergente.
- De plus, la somme de cette série produit est égale au produit des sommes des deux séries initiales : \[ \sum_{n=0}^{+\infty} v_n = \left( \sum_{n=0}^{+\infty} u_n \right) \times \left( \sum_{n=0}^{+\infty} w_n \right) \]
- En remplaçant par les valeurs connues, on obtient l'expression finale : \[ \sum_{n=0}^{+\infty} v_n = U \times 2 = 2U \]