- Cas 1 : Inégalité au rang $ n+1 $
- Pour tout entier $ k \ge 0 $, on a par hypothèse : $ \frac{u_{k+1}}{u_k} \le \frac{v_{k+1}}{v_k} $.
- Puisque tous les termes sont strictement positifs, on peut multiplier ces inégalités pour $ k $ allant de $ 0 $ à $ n-1 $ : \[ \prod_{k=0}^{n-1} \frac{u_{k+1}}{u_k} \le \prod_{k=0}^{n-1} \frac{v_{k+1}}{v_k} \]
- Par télescopage multiplicatif, les produits se simplifient massivement pour donner : \[ \frac{u_n}{u_0} \le \frac{v_n}{v_0} \]
- On isole $ u_n $ pour obtenir l'inégalité fondamentale : \[ u_n \le \left(\frac{u_0}{v_0}\right) v_n \]
- Par hypothèse, la série $ \sum v_n $ converge. L'espace des séries convergentes étant un espace vectoriel, la série proportionnelle $ \sum \left(\frac{u_0}{v_0}\right) v_n $ converge également.
- Comme les séries sont à termes positifs ($ 0 < u_n \le K v_n $), le théorème de comparaison s'applique strictement : la série $ \sum u_n $ converge.
- Cas 2 : Inégalité au rang $ n+2 $
- Le raisonnement est rigoureusement identique, mais on doit l'appliquer séparément aux indices pairs et impairs, car le "saut" est de 2.
- En multipliant les inégalités de $ k=0 $ à $ n-1 $ avec un pas de 2, le télescopage donne pour les indices pairs : \[ \frac{u_{2n}}{u_0} \le \frac{v_{2n}}{v_0} \implies u_{2n} \le \left(\frac{u_0}{v_0}\right) v_{2n} \]
- De même pour les indices impairs (en partant de $ k=1 $) : \[ u_{2n+1} \le \left(\frac{u_1}{v_1}\right) v_{2n+1} \]
- La convergence de $ \sum v_n $ implique que les deux sous-séries $ \sum v_{2n} $ et $ \sum v_{2n+1} $ convergent (suite à termes positifs).
- Par comparaison de séries à termes positifs, les séries $ \sum u_{2n} $ et $ \sum u_{2n+1} $ convergent.
- D'après le théorème de regroupement (que nous avons démontré dans un exercice précédent !), puisque les termes pairs et impairs forment des séries convergentes, la série globale $ \sum u_n $ converge.