- Démonstration de la convergence de $ \sum b_n $ :
- On part de l'encadrement initial valable pour tout $ n \in \mathbb{N} $ : \[ a_n \le b_n \le c_n \]
- Pour se ramener à des termes positifs, on soustrait $ a_n $ à chaque membre de l'inégalité : \[ 0 \le b_n - a_n \le c_n - a_n \]
- Par hypothèse, les séries $ \sum a_n $ et $ \sum c_n $ sont convergentes. L'espace des séries convergentes étant un espace vectoriel, toute combinaison linéaire de séries convergentes est convergente.
On en déduit que la série $ \sum (c_n - a_n) $ converge. - On se retrouve avec l'inégalité $ 0 \le b_n - a_n \le c_n - a_n $.
Comme il s'agit de séries à termes positifs, le théorème de comparaison s'applique de manière stricte : la série majorée $ \sum (b_n - a_n) $ converge. - Enfin, on peut décomposer le terme général $ b_n $ de la façon suivante : \[ b_n = (b_n - a_n) + a_n \]
- La série $ \sum b_n $ s'écrit donc comme la somme de deux séries convergentes ($ \sum (b_n - a_n) $ et $ \sum a_n $). Par linéarité, la série $ \sum b_n $ converge.