1. Convergence de $ \sum \max(u_n, v_n) $ :
    • On sait que pour tous réels positifs $ u_n $ et $ v_n $, on a toujours la majoration : \[ \max(u_n, v_n) \le u_n + v_n \]
    • Puisque les séries $ \sum u_n $ et $ \sum v_n $ sont convergentes, toute combinaison linéaire l'est aussi. La série somme $ \sum (u_n + v_n) $ est donc convergente.
    • Comme on manipule exclusivement des séries à termes positifs ($ 0 \le \max(u_n, v_n) $), le théorème de comparaison s'applique directement. La série $ \sum \max(u_n, v_n) $ converge.

  2. Convergence de $ \sum u_n^{\frac{1}{5}} v_n^{\frac{4}{5}} $ :
    • On raisonne par disjonction de cas. Pour tout entier $ n $, comparons $ u_n $ et $ v_n $ :
      • Si $ u_n \ge v_n $, alors la croissance de la fonction puissance assure que $ v_n^{\frac{4}{5}} \le u_n^{\frac{4}{5}} $. En multipliant par $ u_n^{\frac{1}{5}} $, on obtient : \[ u_n^{\frac{1}{5}} v_n^{\frac{4}{5}} \le u_n^{\frac{1}{5}} u_n^{\frac{4}{5}} = u_n = \max(u_n, v_n) \]
      • Si $ v_n \ge u_n $, alors $ u_n^{\frac{1}{5}} \le v_n^{\frac{1}{5}} $. En multipliant par $ v_n^{\frac{4}{5}} $, on obtient : \[ u_n^{\frac{1}{5}} v_n^{\frac{4}{5}} \le v_n^{\frac{1}{5}} v_n^{\frac{4}{5}} = v_n = \max(u_n, v_n) \]
    • Dans tous les cas, l'inégalité suivante est vérifiée : \[ 0 \le u_n^{\frac{1}{5}} v_n^{\frac{4}{5}} \le \max(u_n, v_n) \]
    • D'après la première question, la série majorante $ \sum \max(u_n, v_n) $ converge. Par le théorème de comparaison des séries à termes positifs, on en déduit immédiatement que la série $ \sum u_n^{\frac{1}{5}} v_n^{\frac{4}{5}} $ converge.