1. Étude de la fonction et de la série associée :
    1. Calcul de la limite :
      • On considère la fonction $ g(x) = \ln(f(x)) $. Puisque $ f \in \mathcal{C}^1([1, +\infty[) $ et $ f(x) > 0 $, $ g $ est bien définie et de classe $ \mathcal{C}^1 $.
      • La dérivée de cette fonction est $ g'(x) = \frac{f'(x)}{f(x)} $.
      • En appliquant le théorème des accroissements finis (TAF) à la fonction $ g $ sur l'intervalle $ [n, n+1] $, il existe un réel $ c_n \in ]n, n+1[ $ tel que : \[ g(n+1) - g(n) = g'(c_n) (n+1 - n) \]
      • Ce qui se réécrit en utilisant les propriétés du logarithme : \[ \ln\left(\frac{f(n+1)}{f(n)}\right) = \frac{f'(c_n)}{f(c_n)} \]
      • Puisque $ n < c_n < n+1 $, par le théorème des gendarmes, $ c_n \to +\infty $ lorsque $ n \to +\infty $.
      • Par hypothèse de l'énoncé, on a donc : \[ \lim_{n \to +\infty} \ln\left(\frac{f(n+1)}{f(n)}\right) = \lim_{x \to +\infty} \frac{f'(x)}{f(x)} = -\infty \]
      • En passant à l'exponentielle, on obtient directement la limite cherchée : \[ \lim_{n \to +\infty} \frac{f(n+1)}{f(n)} = 0 \]

    2. Nature de la série :
      • La suite $ (f(n))_{n \ge 1} $ est à termes strictement positifs d'après l'énoncé.
      • D'après la question précédente, la limite du quotient $ \frac{f(n+1)}{f(n)} $ est égale à $ 0 $.
      • Puisque $ 0 < 1 $, la règle de d'Alembert s'applique de manière stricte.
      • On conclut que la série $ \sum_{n \ge 1} f(n) $ converge.