1. Étude des séries liées à une suite $ (u_n) $ à termes positifs :
    1. Nature de $ \sum \frac{u_n}{1 + u_n} $ :
      • On pose $ v_n = \frac{u_n}{1 + u_n} $. Les deux séries sont à termes positifs.
      • Si $ \sum u_n $ converge, alors $ \lim_{n \to +\infty} u_n = 0 $. On a donc l'équivalence $ v_n \sim u_n $. Par le théorème d'équivalence des séries à termes positifs, $ \sum v_n $ converge.
      • Réciproquement, si $ \sum v_n $ converge, alors $ \lim_{n \to +\infty} v_n = 0 $. Comme $ u_n = \frac{v_n}{1 - v_n} $, on en déduit que $ \lim_{n \to +\infty} u_n = 0 $. On a de nouveau $ u_n \sim v_n $, donc $ \sum u_n $ converge.
      • Les deux séries sont donc de même nature.

    2. Nature de $ \sum \ln(1 + u_n) $ :
      • La suite $ (u_n) $ est à termes positifs, donc $ \ln(1 + u_n) \ge 0 $.
      • Si $ \sum u_n $ converge, alors $ \lim_{n \to +\infty} u_n = 0 $. L'équivalent usuel donne $ \ln(1 + u_n) \sim u_n $. Les deux séries à termes positifs ont donc même nature, ainsi $ \sum \ln(1 + u_n) $ converge.
      • Réciproquement, si $ \sum \ln(1 + u_n) $ converge, alors son terme général tend vers 0, ce qui implique $ \lim_{n \to +\infty} u_n = 0 $. L'équivalent $ \ln(1 + u_n) \sim u_n $ est toujours valable, prouvant la convergence de $ \sum u_n $.
      • Les deux séries sont donc de même nature.

    3. Lien avec le produit infini :
      • On considère le produit partiel $ P_n = \prod_{k=0}^{n} (1 + u_k) $. En passant au logarithme naturel : \[ \ln(P_n) = \sum_{k=0}^{n} \ln(1 + u_k) \]
      • La suite $ (\ln(P_n)) $ est la suite des sommes partielles de la série $ \sum \ln(1 + u_n) $. Comme cette série est à termes positifs, la suite de ses sommes partielles est croissante.
      • D'après la question précédente, $ \sum u_n $ diverge si et seulement si $ \sum \ln(1 + u_n) $ diverge.
      • Puisque la série est à termes positifs, sa divergence équivaut à dire que la suite de ses sommes partielles tend vers $ +\infty $ : \[ \lim_{n \to +\infty} \ln(P_n) = +\infty \]
      • Par composition avec la fonction exponentielle qui tend vers $ +\infty $ en $ +\infty $, cela équivaut strictement à : \[ \lim_{n \to +\infty} P_n = +\infty \]