- Démonstration du théorème de regroupement :
- On note $ S_N = \sum_{k=0}^N u_k $ la suite des sommes partielles de la série.
- On pose $ A_N = \sum_{k=0}^N u_{2k} $ et $ B_N = \sum_{k=0}^N u_{2k+1} $. Par hypothèse, ces suites convergent vers des limites respectives $ L_A $ et $ L_B $.
- Pour les indices impairs, on a : $ S_{2N+1} = \sum_{k=0}^{2N+1} u_k = A_N + B_N $. En passant à la limite : $ \lim_{N \to +\infty} S_{2N+1} = L_A + L_B $.
- Pour les indices pairs, on a : $ S_{2N} = S_{2N+1} - u_{2N+1} $. Puisque la série $ \sum u_{2n+1} $ converge, son terme général tend nécessairement vers $ 0 $, donc $ \lim_{N \to +\infty} u_{2N+1} = 0 $.
- On en déduit que : $ \lim_{N \to +\infty} S_{2N} = L_A + L_B - 0 = L_A + L_B $.
- Les suites extraites $ (S_{2N}) $ et $ (S_{2N+1}) $ convergent vers la même limite. La suite $ (S_N) $ converge donc, ce qui prouve que la série $ \sum u_n $ converge, et l'on a bien : \[ \sum_{n=0}^{+\infty} u_n = \sum_{n=0}^{+\infty} u_{2n} + \sum_{n=0}^{+\infty} u_{2n+1} \]
- Application (Existence et calcul) :
- Étude de la série des termes pairs ($ n = 2k $) : \[ u_{2k} = (3 + 1)^{-2k} = 4^{-2k} = \left(\frac{1}{16}\right)^k \] C'est le terme général d'une série géométrique de raison $ q = \frac{1}{16} \in ]-1, 1[ $. Elle converge et sa somme est : \[ \sum_{k=0}^{+\infty} u_{2k} = \frac{1}{1 - \frac{1}{16}} = \frac{16}{15} \]
- Étude de la série des termes impairs ($ n = 2k+1 $) : \[ u_{2k+1} = (3 - 1)^{-(2k+1)} = 2^{-(2k+1)} = \frac{1}{2} \left(\frac{1}{4}\right)^k \] C'est le terme général d'une série géométrique de raison $ q = \frac{1}{4} \in ]-1, 1[ $. Elle converge et sa somme est : \[ \sum_{k=0}^{+\infty} u_{2k+1} = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{1 - \frac{1}{4}} = \frac{1}{2} \cdot \frac{4}{3} = \frac{2}{3} \]
- Conclusion : D'après la question précédente, puisque les séries des termes pairs et impairs convergent, la série $ \sum u_n $ converge et sa somme est : \[ \sum_{n=0}^{+\infty} u_n = \frac{16}{15} + \frac{2}{3} = \frac{16}{15} + \frac{10}{15} = \frac{26}{15} \]