Correction de l'exercice

1. Déterminer la nature des séries de termes généraux :
   1. $ (-1)^n n^2 $ : Le terme général ne tend pas vers $0$. Diverge grossièrement.
   2. $ n \arcsin\left(\frac{1}{n}\right) $ : $ u_n \sim n \cdot \frac{1}{n} = 1 \neq 0 $. Diverge grossièrement.
   3. $ \frac{1}{n} + \ln\left(1 - \frac{1}{n}\right) $ : Par développement limité, $ u_n \sim -\frac{1}{2n^2} $. Converge (Riemann, $\alpha = 2 > 1$).
   4. $ n \ln\left(1 + \frac{1}{n}\right) - \cos\left(\frac{1}{\sqrt{n}}\right) $ : Par développement limité, $ u_n \sim \frac{7}{24n^2} $. Converge (Riemann, $\alpha = 2 > 1$).
   5. $ \frac{4^n - n}{5^n + 3n^6} $ : $ u_n \sim \left(\frac{4}{5}\right)^n $. Converge (série géométrique, $q < 1$).
   6. $ \frac{\sqrt{n+1} - \sqrt{n}}{n} $ : En multipliant par l'expression conjuguée, $ u_n \sim \frac{1}{2n^{3/2}} $. Converge (Riemann, $\alpha = 3/2 > 1$).
   7. $ \frac{n^n}{2^{n^2}} $ : Par le critère de Cauchy, $ \sqrt[n]{u_n} = \frac{n}{2^n} \to 0 < 1 $. Converge
   8. $ \left(1 - \frac{1}{\ln n}\right)^n $ : $ \ln(u_n) \sim -\frac{n}{\ln n} \to -\infty $.
      

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   Règle de Riemann

   • On étudie le logarithme de la quantité $n^2 u_n$ : \[ \ln(n^2 u_n) = 2\ln n + \ln(u_n) \]
   • En utilisant le développement asymptotique : \[ \ln(n^2 u_n) = 2\ln n - \frac{n}{\ln n} + o\left(\frac{n}{\ln n}\right) \]
   • Le terme en $-\frac{n}{\ln n}$ domine largement $2\ln n$, on a donc : \[ \lim_{n \to +\infty} \ln(n^2 u_n) = -\infty \]
   • Par composition avec la limite de l'exponentielle, on obtient : \[ \lim_{n \to +\infty} n^2 u_n = 0 \]
   • Ceci signifie que $u_n = o\left(\frac{1}{n^2}\right)$. Par comparaison avec une série de Riemann convergente, la série converge.
   9. $ (n+1)^{\frac{1}{n}} - n^{\frac{1}{n}} $ : En factorisant par $ n^{\frac{1}{n}} $, $ u_n \sim \frac{1}{n^2} $. Converge (Riemann).
   10. $ \left(\cos\left(\frac{1}{\sqrt{n}}\right)\right)^n - \frac{1}{\sqrt{e}} $ : Par développement limité, $ u_n \sim -\frac{1}{12\sqrt{e}n^2} $. Converge (Riemann).
   11. $ \frac{1}{\sqrt[n]{n!}} $ : D'après la formule de Stirling, $ u_n \sim \frac{e}{n} $. Diverge (Riemann, $\alpha = 1$).
   12. $ \frac{1}{\text{sh}(\sqrt{\ln n})} $ : $ u_n \sim \frac{2}{e^{\sqrt{\ln n}}} $. La décroissance est plus lente que $ \frac{1}{n} $. Diverge.
   13. $ \frac{(n!)^3}{n^n (2n)!} $ : Par la règle de d'Alembert, $ \frac{u_{n+1}}{u_n} \to \frac{1}{4e} < 1 $. Converge.
   14. $ \left(\frac{n}{n+1}\right)^{n^2} $ : Par le critère de Cauchy, $ \sqrt[n]{u_n} = \left(1 - \frac{1}{n+1}\right)^n \to e^{-1} < 1 $. Converge.
   15. $ \ln\left(1 + \frac{1}{n}\right) - \frac{1}{\sqrt{n^2 + n}} $ : Par développement limité, $ u_n \sim -\frac{3}{8n^3} $. Converge (Riemann).
   16. $ \left(\frac{3}{\ln n}\right)^n $ : Par le critère de Cauchy, $ \sqrt[n]{u_n} \to 0 < 1 $. Converge.
   17. $ \frac{1}{\sqrt{n-1}} - \frac{1}{\sqrt{n+1}} $ : En multipliant par l'expression conjuguée, $ u_n \sim \frac{1}{n^{3/2}} $. Converge (Riemann).
   18. $ \frac{n^{\ln n}}{n!} $ : D'après la formule de Stirling, la limite de $ n^2 u_n $ est $ 0 $. Converge.
       
       

       Autre méthode pour r

       • Pour tout entier $ n \geq 4 $, on a $ n! > 2^n $.
       • On pose $ u_n = \frac{n^{\ln n}}{n!} $ et $ v_n = \frac{n^{\ln n}}{2^n} $. On obtient la majoration : \[ 0 \leq u_n \leq v_n \]
       • Étudions la série de terme général $ v_n $ à l'aide du critère de Cauchy : \[ \sqrt[n]{v_n} = \frac{n^{\frac{\ln n}{n}}}{2} \]
       • Sachant que $ \lim_{n \to +\infty} \frac{\ln n}{n} = 0 $, on déduit que $ n^{\frac{\ln n}{n}} = e^{\frac{(\ln n)^2}{n}} \longrightarrow 1 $.
       • Par conséquent : \[ \lim_{n \to +\infty} \sqrt[n]{v_n} = \frac{1}{2} < 1 \]
       • La série de terme général $ v_n $ converge. Par critère de comparaison, la série de terme général $ u_n $ converge.
   19. $ 1 - \sqrt[n]{\frac{n}{n+1}} $ : Par développement limité de l'exponentielle, $ u_n \sim \frac{1}{n^2} $. Converge (Riemann).