1. Recherche de $ a $ et $ b $ :
    Notons $ u_n $ le terme général. En factorisant par $ n $ à l'intérieur des logarithmes pour $ n \to +\infty $ : \[ u_n = \ln(n) + a\ln\left(n\left(1+\frac{1}{n}\right)\right) + b\ln\left(n\left(1+\frac{2}{n}\right)\right) \] \[ u_n = (1+a+b)\ln(n) + a\ln\left(1+\frac{1}{n}\right) + b\ln\left(1+\frac{2}{n}\right) \] Par développement asymptotique : \[ u_n = (1+a+b)\ln(n) + \frac{a+2b}{n} - \frac{a+4b}{2n^2} + o\left(\frac{1}{n^2}\right) \] Pour que la série converge, les termes divergents en $ \ln(n) $ et $ \frac{1}{n} $ doivent s'annuler, ce qui donne le systÚme : \[ \begin{cases} 1 + a + b = 0 \\ a + 2b = 0 \end{cases} \implies a = -2, \quad b = 1 \] Avec ces valeurs, $ u_n \sim -\frac{1}{n^2} $, ce qui assure la convergence (série de Riemann avec $ \alpha = 2 > 1 $).

    Calcul de la somme :
    On a $ u_n = \ln(n) - 2\ln(n+1) + \ln(n+2) $. On le réécrit pour faire apparaßtre une différence symétrique : \[ u_n = \big( \ln(n+2) - \ln(n+1) \big) - \big( \ln(n+1) - \ln(n) \big) \] En posant $ v_n = \ln(n+1) - \ln(n) $, on a $ u_n = v_{n+1} - v_n $. Par télescopage, la somme partielle s'écrit : \[ S_N = \sum_{n=1}^N (v_{n+1} - v_n) = v_{N+1} - v_1 = \ln\left(\frac{N+2}{N+1}\right) - \ln(2) \] Lorsque $ N \to +\infty $, le rapport $ \frac{N+2}{N+1} $ tend vers 1, donc $ v_{N+1} \to 0 $. La somme vaut alors : \[ \sum_{n=1}^{+\infty} \big( \ln(n) - 2\ln(n+1) + \ln(n+2) \big) = -\ln(2) \]
  2. Recherche de $ a $ et $ b $ :
    Notons $ w_n $ le terme gĂ©nĂ©ral. En factorisant par $ \sqrt{n} $ : \[ w_n = \sqrt{n} \left( 1 + a\left(1+\frac{1}{n}\right)^{1/2} + b\left(1+\frac{2}{n}\right)^{1/2} \right) \] Par dĂ©veloppement asymptotique : \[ w_n = \sqrt{n} \left( 1 + a\left(1+\frac{1}{2n}\right) + b\left(1+\frac{1}{n}\right) + O\left(\frac{1}{n^2}\right) \right) \] \[ w_n = (1+a+b)\sqrt{n} + \frac{a+2b}{2\sqrt{n}} + O\left(\frac{1}{n^{3/2}}\right) \] Pour que la sĂ©rie converge, il faut annuler les termes divergents en $ \sqrt{n} $ et $ \frac{1}{\sqrt{n}} $. On retrouve le mĂȘme systĂšme : \[ \begin{cases} 1 + a + b = 0 \\ a + 2b = 0 \end{cases} \implies a = -2, \quad b = 1 \] Avec ces valeurs, $ w_n = O\left(\frac{1}{n^{3/2}}\right) $, ce qui assure la convergence (Riemann avec $ \alpha = \frac{3}{2} > 1 $).

    Calcul de la somme :
    On a $ w_n = \sqrt{n} - 2\sqrt{n+1} + \sqrt{n+2} $, que l'on réécrit : \[ w_n = \big( \sqrt{n+2} - \sqrt{n+1} \big) - \big( \sqrt{n+1} - \sqrt{n} \big) \] En posant $ x_n = \sqrt{n+1} - \sqrt{n} $, on a $ w_n = x_{n+1} - x_n $. La somme partielle d'ordre $ N $ se télescope : \[ T_N = \sum_{n=0}^N (x_{n+1} - x_n) = x_{N+1} - x_0 = \big( \sqrt{N+2} - \sqrt{N+1} \big) - \big( \sqrt{1} - \sqrt{0} \big) \] En multipliant par la quantité conjuguée : \[ \sqrt{N+2} - \sqrt{N+1} = \frac{1}{\sqrt{N+2} + \sqrt{N+1}} \xrightarrow[N \to +\infty]{} 0 \] La somme vaut donc : \[ \sum_{n=0}^{+\infty} \big( \sqrt{n} - 2\sqrt{n+1} + \sqrt{n+2} \big) = -1 \]