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Posons:
\[ x = \arctan a \quad \text{ et } \quad y = \arctan b \]
Puisque $ (a, b) \in ]0, +\infty[^2 $, on a $ x, y \in \left]0, \frac{\pi}{2}\right[ $.
Par conséquent, $ x - y \in \left]-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right[ $.
En appliquant la formule d'addition de la tangente : \[ \tan(x - y) = \frac{\tan x - \tan y}{1 + \tan x \tan y} = \frac{a - b}{1 + ab} \] Puisque $ x - y $ appartient à l'intervalle $ \left]-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right[ $, on peut composer par la fonction $ \arctan $ pour obtenir : \[ x - y = \arctan\left(\frac{a - b}{1 + ab}\right) \] Soit : \[ \arctan a - \arctan b = \arctan\left(\frac{a - b}{1 + ab}\right) \]
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Étude de la convergence :
Pour tout $ n \in \mathbb{N} $, le terme général $ u_n = \arctan\left(\frac{1}{1 + n + n^2}\right) $ est strictement positif.
Quand $ n \to +\infty $, on a l'équivalent : \[ u_n \sim \frac{1}{1 + n + n^2} \sim \frac{1}{n^2} \] On reconnaît le terme général d'une série de Riemann convergente ($ \alpha = 2 > 1 $). Par comparaison, la série $ \sum u_n $ converge.
Calcul de la somme :
On remarque que l'argument de l'arctangente s'écrit : \[ \frac{1}{1 + n + n^2} = \frac{(n+1) - n}{1 + (n+1)n} \] D'après le résultat de la première question (qui reste trivialement valide pour $ n=0 $), on peut écrire : \[ u_n = \arctan(n+1) - \arctan(n) \] La somme partielle d'ordre $ N $ s'évalue par un télescopage direct : \[ S_N = \sum_{n=0}^N \big( \arctan(n+1) - \arctan(n) \big) = \arctan(N+1) - \arctan(0) \] Sachant que $ \arctan(0) = 0 $, et en passant à la limite quand $ N \to +\infty $ : \[ \sum_{n=0}^{+\infty} \arctan\left(\frac{1}{1 + n + n^2}\right) = \lim_{N \to +\infty} \arctan(N+1) = \frac{\pi}{2} \]