Solution
  1. La suite $(u_n)$ est strictement positive par récurrence immédiate. En passant au logarithme népérien, la relation s'écrit : \[ \ln(u_{n+1}) = \frac{1}{2} \ln(u_n) - \frac{1}{2} \] Posons $v_n = \ln(u_n)$. On obtient : \[ v_{n+1} = \frac{1}{2}v_n - \frac{1}{2} \]
  2. En posant $w_n = v_n + 1$, on remarque immédiatement que : \[ w_{n+1} = \frac{1}{2}w_n \] Soit: \[w_n= \left(\frac{1}{2}\right)^nw_0=\left(\frac{1}{2}\right)^{n}\qquad (\text{car: }\quad w_0=1) \]
  3. On en déduit l'expression de $v_n$ puis celle de $u_n$ : \[ v_n = \left(\frac{1}{2}\right)^n - 1 \implies u_n = \exp\left( \frac{1}{2^n} - 1 \right) \]
    Puisque $ \lim_{n \to +\infty} \frac{1}{2^n} = 0 $, on obtient par continuité de la fonction exponentielle : \[ \lim_{n \to +\infty} u_n = \exp(-1) = \frac{1}{e} \] La suite $(u_n)$ converge donc vers $\frac{1}{e}$.