Solution
  1. Considérons la fonction $ f_n : x \mapsto \sum_{k=1}^{n} x^k $ sur $ ]0, +\infty[ $.

    $ f_n $ est continue et strictement croissante (comme somme de fonctions strictement croissantes). Elle réalise donc une bijection de $ ]0, +\infty[ $ sur $ ]0, +\infty[ $.
    l'équation $ f_n(x) = 1 $ admet donc une unique solution $ x_n \in ]0, +\infty[ $.
  2. Évaluons $ f_{n+1} $ en $ x_n $ : \[ f_{n+1}(x_n) = \sum_{k=1}^{n+1} x_n^k = f_n(x_n) + x_n^{n+1} = 1 + x_n^{n+1} \] Puisque $ x_n > 0 $, on a $ f_{n+1}(x_n) > 1 $, ce qui s'écrit $ f_{n+1}(x_n) > f_{n+1}(x_{n+1}) $.

    La fonction $ f_{n+1} $ étant strictement croissante, on en déduit $ x_n > x_{n+1} $.
    La suite $ (x_n) $ est donc strictement décroissante. Étant minorée par 0, elle converge vers une limite $ \ell \ge 0 $.
  3. Pour $ x \neq 1 $, on reconnaît une somme géométrique : \[ \sum_{k=1}^{n} x^k = x \frac{1 - x^n}{1 - x} \] Remarquons que pour $ n \ge 2 $, $ f_n(1) = n \ge 2 > 1 $, donc $ x_n < 1 $. On applique la formule en $ x_n $ : \[ x_n \frac{1 - x_n^n}{1 - x_n} = 1 \implies x_n - x_n^{n+1} = 1 - x_n \implies 2x_n - 1 = x_n^{n+1} \] La suite $ (x_n) $ étant décroissante, on a pour $ n \ge 2 $, $ 0 \le x_n \le x_2 < 1 $.
    Par conséquent, $ \lim_{n \to +\infty} x_n^{n+1} = 0 $.

    En passant à la limite dans la relation $ 2x_n - 1 = x_n^{n+1} $, on obtient $ 2\ell - 1 = 0 $.
    On en conclut : \[ \lim_{n \to +\infty} x_n = \frac{1}{2} \]
Autre méthode:
  1. Pour tout $ x \in ]0, 1[ $, la série géométrique converge. Notons $ S(x) $ sa somme et $ R_n(x) $ son reste d'ordre $ n $ : \[ S(x) = \sum_{k=1}^{+\infty} x^k = \frac{x}{1-x} \quad \text{et} \quad R_n(x) = \sum_{k=n+1}^{+\infty} x^k = \frac{x^{n+1}}{1-x} \]
  2. Évaluons cette identité en $ x_n $. Puisque $ \sum_{k=1}^n x_n^k = 1 $, on obtient : \[ S(x_n) = 1 + R_n(x_n) \]
  3. La suite $ (x_n) $ étant décroissante, on a pour tout $ n \ge 2 $, $ 0 < x_n \le x_2 < 1 $.
    On peut donc majorer uniformément le reste : \[ 0 \le R_n(x_n) = \frac{x_n^{n+1}}{1-x_n} \le \frac{x_2^{n+1}}{1-x_2} \] Puisque $ x_2 \in ]0, 1[ $, le majorant tend vers 0. Par le théorème des gendarmes : \[ \lim_{n \to +\infty} R_n(x_n) = 0 \]
  4. En passant à la limite dans la relation du point 2, on en déduit : \[ \lim_{n \to +\infty} S(x_n) = 1 \] La fonction $ S : x \mapsto \frac{x}{1-x} $ est continue et réalise une bijection de $ ]0, 1[ $ sur $ ]0, +\infty[ $, de réciproque $ y \mapsto \frac{y}{1+y} $.

    Par continuité de la réciproque en 1, on conclut immédiatement : \[ \lim_{n \to +\infty} x_n = \frac{1}{1+1} = \frac{1}{2} \]