La suite $ (u_n) $ converge vers une limite $ \ell $. En appliquant la définition de la limite avec $ \varepsilon = \frac{1}{4} $ : \[ \exists N \in \mathbb{N}, \forall n \ge N, \quad |u_n - \ell| \le \frac{1}{4} \]
Par l'inégalité triangulaire, on obtient pour tout $ n \ge N $ : \[ |u_{n+1} - u_n| = |u_{n+1} - \ell + \ell - u_n| \le |u_{n+1} - \ell| + |\ell - u_n| \le \frac{1}{4} + \frac{1}{4} = \frac{1}{2} \]
La suite $ (u_n) $ étant à valeurs dans $ \mathbb{Z} $, la différence $ u_{n+1} - u_n $ est nécessairement un entier.
Or, le seul entier $ k $ vérifiant l'inégalité $ |k| \le \frac{1}{2} $ est $ 0 $.

On en déduit que pour tout $ n \ge N $, $ u_{n+1} = u_n $. La suite $ (u_n) $ est donc bien stationnaire.