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Positivité et relation avec les moyennes :
Une récurrence immédiate montre que pour tout $ n \in \mathbb{N} $, $ u_n > 0 $ et $ v_n > 0 $.
On reconnaît pour $ u_{n+1} $ la moyenne arithmétique de $ u_n $ et $ v_n $, et pour $ v_{n+1} $ la moyenne harmonique. Il est d'ailleurs souvent éclairant de réécrire cette dernière sous la forme : \[ \frac{1}{v_{n+1}} = \frac{1}{2}\left(\frac{1}{u_n} + \frac{1}{v_n}\right) \] Cela met en évidence que l'inverse de la moyenne harmonique est la moyenne arithmétique des inverses. -
Invariant et comparaison :
On remarque que le produit des deux termes consécutifs se simplifie : \[ u_{n+1}v_{n+1} = \frac{u_n + v_n}{2} \cdot \frac{2u_n v_n}{u_n + v_n} = u_n v_n \] Par récurrence, le produit est constant : pour tout $ n \in \mathbb{N} $, $ u_n v_n = u_0 v_0 $.
Évaluons ensuite la différence : \[ u_{n+1} - v_{n+1} = \frac{u_n + v_n}{2} - \frac{2u_n v_n}{u_n + v_n} = \frac{(u_n - v_n)^2}{2(u_n + v_n)} \ge 0 \] Ainsi, pour tout $ n \ge 1 $, on a $ u_n \ge v_n $. -
Monotonie :
Pour tout $ n \ge 1 $, on utilise l'inégalité $ u_n \ge v_n $ pour étudier le signe de la différence : \[ u_{n+1} - u_n = \frac{v_n - u_n}{2} \le 0 \] La suite $ (u_n) $ est décroissante à partir du rang 1.
\[ v_{n+1} - v_n = \frac{2u_n v_n - v_n(u_n + v_n)}{u_n + v_n} = \frac{v_n(u_n - v_n)}{u_n + v_n} \ge 0 \] La suite $ (v_n) $ est croissante à partir du rang 1. -
Convergence et limite :
La suite $ (u_n) $ est décroissante et minorée (par 0), elle converge donc vers une limite $ \ell_1 $.
La suite $ (v_n) $ est croissante et majorée (par $ u_1 $), elle converge donc vers une limite $ \ell_2 $.
En passant à la limite dans la relation $ u_{n+1} = \frac{u_n + v_n}{2} $, on obtient $ \ell_1 = \frac{\ell_1 + \ell_2}{2} $, ce qui implique immédiatement $ \ell_1 = \ell_2 = \ell $.
Enfin, en passant à la limite dans l'invariant $ u_n v_n = u_0 v_0 $, on trouve $ \ell^2 = u_0 v_0 $. Puisque $ \ell \ge 0 $, la limite commune est la moyenne géométrique des termes initiaux : \[ \ell = \sqrt{u_0 v_0} \]