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Convergence de $ (u_{2^n}) $ :
Posons $ v_n = u_{2^n} $. On a $ v_{n+1} - v_n \le \frac{1}{2^n} $.
Par somme télescopique, la suite $ (v_n) $ est majorée. Étant croissante, elle converge vers une limite $ \ell $. -
Convergence de $ (u_n) $ :
Pour tout entier $ n \in \mathbb{N} $, on a $ n \le 2^n $.
La suite $ (u_n) $ étant croissante, on en déduit que $ u_n \le u_{2^n} = v_n $.
La suite $ (v_n) $ convergeant vers $ \ell $ en étant croissante, elle est majorée par $ \ell $. Par conséquent, $ u_n \le \ell $.
La suite $ (u_n) $ est croissante et majorée, elle converge donc.
Puisque $ (v_n) $ est une suite extraite de $ (u_n) $, elle converge vers la même limite $ \ell $.