Solution

1. Suite $ a_n $

   Par la quantité conjuguée : \[ a_n = \frac{2}{\sqrt{n+1} + \sqrt{n-1}} \]
   On factorise le dénominateur : \[ \sqrt{n+1} + \sqrt{n-1} = \sqrt{n} \left( \sqrt{1 + \frac{1}{n}} + \sqrt{1 - \frac{1}{n}} \right) \]
   Puisque le terme entre parenthèses tend vers $ 2 $ : \[ \sqrt{n+1} + \sqrt{n-1} \sim 2\sqrt{n} \]
   On en déduit : \[ a_n \sim \frac{1}{\sqrt{n}} \]

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2. Suite $ b_n $

   On factorise par le terme dominant $ n^{1/3} $ : \[ b_n = \sqrt[3]{n} \left( \left(1 + \frac{1}{n}\right)^{\!1/3} - 1 \right) \] En utilisant l'équivalent $ (1+x)^\alpha - 1 \sim \alpha x $ en $ 0 $ : \[ b_n \sim n^{1/3} \left( \frac{1}{3n} \right) = \frac{1}{3n^{2/3}} \]

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3. Suite $ c_n $

   Sous forme exponentielle : $ c_n = e^{\frac{\ln(n)}{n}} - 1 $.
   Par croissances comparées, $ \frac{\ln(n)}{n} \xrightarrow[n \to +\infty]{} 0 $. On utilise donc l'équivalent usuel $ e^x - 1 \sim x $ : \[ c_n \sim \frac{\ln(n)}{n} \]

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4. Suite $ d_n $

   On détermine un équivalent pour chaque facteur :
   • $ \cos\left(\frac{\pi}{\sqrt{n}}\right) - 1 \sim -\frac{1}{2}\left(\frac{\pi}{\sqrt{n}}\right)^2 = -\frac{\pi^2}{2n} $
   • $ \ln(1+n^2) - n^2 = -n^2 \left( 1 - \frac{\ln(1+n^2)}{n^2} \right) \sim -n^2 $ car $ \ln(1+n^2) = o(n^2) $
   Par produit d'équivalents : \[ d_n \sim n^2 \left( -\frac{\pi^2}{2n} \right) \left( -n^2 \right) = \frac{\pi^2}{2} n^3 \]

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5. Suite $ e_n $

   On passe à l'écriture exponentielle : $ e_n = \exp\left(\frac{1}{n} \ln\left(\ln(1 + e^{-n^2})\right)\right) $.
   On a: \[ \ln(1 + e^{-n^2}) \sim e^{-n^2} \] Ce qui s'écrit: \[ \ln(1 + e^{-n^2}) = e^{-n^2}(1 + o(1)) \]
   En passant au logarithme : \[ \ln\left(\ln(1 + e^{-n^2})\right) = -n^2 + \ln(1 + o(1)) = -n^2 + o(1) \] On réinjecte dans l'exponentielle : \[ e_n = \exp\left( \frac{-n^2 + o(1)}{n} \right) = \exp\left( -n + o\left(\frac{1}{n}\right) \right) \] On en conclut : \[ e_n \sim e^{-n} \]

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6. Suite $ f_n $

   La limite de l'argument $ \sqrt{3} + n^2 $ est $ +\infty $, donc $ \arctan(\sqrt{3} + n^2) \xrightarrow[n \to +\infty]{} \frac{\pi}{2} $.
   Ainsi, $ f_n \xrightarrow[n \to +\infty]{} \frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{3} = \frac{\pi}{6} $.
   Une suite ayant une limite finie non nulle est équivalente à sa limite : \[ f_n \sim \frac{\pi}{6} \]

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7. Suite $ g_n $

   On réécrit l'exposant : $ g_n = 3^{-1 - \frac{3}{n}} $.
   Par continuité de la fonction exponentielle de base 3, $ \lim_{n \to +\infty} g_n = 3^{-1} = \frac{1}{3} $.
   La limite étant finie et non nulle : \[ g_n \sim \frac{1}{3} \]