Solution
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Suite $ a_n $
On écrit $ a_n = n\left(e^{\frac{\ln(3)}{n}} - 1\right) $.
En utilisant l'équivalent usuel $ e^x - 1 \sim x $ en $ 0 $ : \[ e^{\frac{\ln(3)}{n}} - 1 \sim \frac{\ln(3)}{n} \] D'où $ a_n \sim n \frac{\ln(3)}{n} = \ln(3) $. Par conséquent : \[ \lim_{n \to +\infty} a_n = \ln(3) \] -
Suite $ b_n $
On factorise par le terme prépondérant $ 7^n $ : \[ b_n = \left(\frac{7^n}{2} \left(1 + \left(\frac{3}{7}\right)^n\right)\right)^{\frac{1}{n}} = 7 \cdot 2^{-\frac{1}{n}} \left(1 + \left(\frac{3}{7}\right)^n\right)^{\frac{1}{n}} \] Puisque $ \lim_{n \to +\infty} 2^{-\frac{1}{n}} = 1 $ et $ \lim_{n \to +\infty} \left(\frac{3}{7}\right)^n = 0 $, par opérations sur les limites : \[ \lim_{n \to +\infty} b_n = 7 \] -
Suite $ c_n $
Par définition de la partie entière, on a l'encadrement $ n\sqrt{2} - 1 < \lfloor n\sqrt{2} \rfloor \le n\sqrt{2} $.
En divisant par $ n > 0 $ : \[ \sqrt{2} - \frac{1}{n} < c_n \le \sqrt{2} \] D'après le théorème des gendarmes : \[ \lim_{n \to +\infty} c_n = \sqrt{2} \] -
Suite $ d_n $
Pour tout entier $ k $ tel que $ 1 \le k \le n $, on encadre le terme général de la somme : \[ \frac{n}{n^2 + n} \le \frac{n}{n^2 + k} \le \frac{n}{n^2 + 1} \] En sommant ces $ n $ inégalités, il vient : \[ \frac{n^2}{n^2 + n} \le d_n \le \frac{n^2}{n^2 + 1} \] Les suites encadrantes tendent toutes les deux vers $ 1 $. D'après le théorème des gendarmes : \[ \lim_{n \to +\infty} d_n = 1 \] -
Suite $ e_n $
On factorise par $ e^{\frac{1}{n+1}} $ : \[ e_n = n^2 e^{\frac{1}{n+1}} \left(e^{\frac{1}{n} - \frac{1}{n+1}} - 1\right) = n^2 e^{\frac{1}{n+1}} \left(e^{\frac{1}{n(n+1)}} - 1\right) \] Comme $ \frac{1}{n(n+1)} \xrightarrow[n \to +\infty]{} 0 $, on peut utiliser l'équivalent $ e^x - 1 \sim x $ : \[ e^{\frac{1}{n(n+1)}} - 1 \sim \frac{1}{n(n+1)} \sim \frac{1}{n^2} \] Sachant que $ \lim_{n \to +\infty} e^{\frac{1}{n+1}} = 1 $, on déduit par produit d'équivalents que $ e_n \sim n^2 \cdot 1 \cdot \frac{1}{n^2} = 1 $. Ainsi : \[ \lim_{n \to +\infty} e_n = 1 \]