Solution
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Suite $ a_n $
On écrit $ a_n = n\left(e^{\frac{\ln(3)}{n}} - 1\right) $.
En utilisant l'équivalent usuel $ e^x - 1 \sim x $ en $ 0 $ : \[ e^{\frac{\ln(3)}{n}} - 1 \sim \frac{\ln(3)}{n} \] D'où $ a_n \sim n \frac{\ln(3)}{n} = \ln(3) $. Par conséquent : \[ \lim_{n \to +\infty} a_n = \ln(3) \] -
Suite $ b_n $
On factorise par le terme prépondérant $ 7^n $ : \[ b_n = \left(\frac{7^n}{2} \left(1 + \left(\frac{3}{7}\right)^n\right)\right)^{\frac{1}{n}} = 7 \cdot 2^{-\frac{1}{n}} \left(1 + \left(\frac{3}{7}\right)^n\right)^{\frac{1}{n}} \] Puisque $ \lim_{n \to +\infty} 2^{-\frac{1}{n}} = 1 $ et $ \lim_{n \to +\infty} \left(\frac{3}{7}\right)^n = 0 $, par opérations sur les limites : \[ \lim_{n \to +\infty} b_n = 7 \] -
Suite $ c_n $
Par définition de la partie entière, on a l'encadrement $ n\sqrt{2} - 1 < \lfloor n\sqrt{2} \rfloor \le n\sqrt{2} $.
En divisant par $ n > 0 $ : \[ \sqrt{2} - \frac{1}{n} < c_n \le \sqrt{2} \] D'après le théorème des gendarmes : \[ \lim_{n \to +\infty} c_n = \sqrt{2} \] -
Suite $ d_n $
Pour tout entier $ k $ tel que $ 1 \le k \le n $, on encadre le terme général de la somme : \[ \frac{n}{n^2 + n} \le \frac{n}{n^2 + k} \le \frac{n}{n^2 + 1} \] En sommant ces $ n $ inégalités, il vient : \[ \frac{n^2}{n^2 + n} \le d_n \le \frac{n^2}{n^2 + 1} \] Les suites encadrantes tendent toutes les deux vers $ 1 $. D'après le théorème des gendarmes : \[ \lim_{n \to +\infty} d_n = 1 \] -
Suite $ e_n $
Considérons la fonction $ f : x \mapsto e^{1/x} $, de classe $ \mathcal{C}^1 $ sur $ ]0, +\infty[ $. Sa dérivée est $ f'(x) = -\frac{1}{x^2}e^{1/x} $.
En appliquant le théorème des accroissements finis à $ f $ sur l'intervalle $ [n, n+1] $, il existe un réel $ c \in ]n, n+1[ $ tel que : \[ f(n+1) - f(n) = f'(c)(n+1 - n) \implies e^{\frac{1}{n+1}} - e^{\frac{1}{n}} = -\frac{1}{c^2}e^{1/c} \]
On peut écrire $ c = n + \theta $ avec $ \theta \in ]0, 1[ $. L'expression de la suite devient alors : \[ e_n = n^2 \left( e^{\frac{1}{n}} - e^{\frac{1}{n+1}} \right) = n^2 \left( \frac{1}{(n+\theta)^2}e^{\frac{1}{n+\theta}} \right) = \left(\frac{n}{n+\theta}\right)^2 e^{\frac{1}{n+\theta}} \]
Puisque $ \theta \in ]0, 1[ $, on a $ \lim_{n \to +\infty} \frac{n}{n+\theta} = 1 $ et $ \lim_{n \to +\infty} \frac{1}{n+\theta} = 0 $.
Par conséquent: \[ \lim_{n \to +\infty} e_n = 1 \]Solution alternative pour $ e_n $ On écrit les développements à l'ordre 2 au voisinage de 0 de la fonction $e^x$ : \[ e^{\frac{1}{n}} = 1 + \frac{1}{n} + \frac{1}{2n^2} + o\left(\frac{1}{n^2}\right) \] \[ e^{\frac{1}{n+1}} = 1 + \frac{1}{n+1} + \frac{1}{2(n+1)^2} + o\left(\frac{1}{n^2}\right) \]
On effectue la différence : \[ e^{\frac{1}{n}} - e^{\frac{1}{n+1}} = \left( \frac{1}{n} - \frac{1}{n+1} \right) + \frac{1}{2} \left( \frac{1}{n^2} - \frac{1}{(n+1)^2} \right) + o\left(\frac{1}{n^2}\right) \]
On réduit au même dénominateur chaque bloc :- $ \frac{1}{n} - \frac{1}{n+1} = \frac{1}{n(n+1)} $
- $ \frac{1}{n^2} - \frac{1}{(n+1)^2} = \frac{(n+1)^2 - n^2}{n^2(n+1)^2} = \frac{2n+1}{n^2(n+1)^2} $
En multipliant par $ n^2 $ pour obtenir $ e_n $ : \[ e_n = \frac{n^2}{n(n+1)} + \frac{1}{2} \frac{n^2(2n+1)}{n^2(n+1)^2} + n^2 o\left(\frac{1}{n^2}\right) \]
Il ne reste qu'à calculer la limite de chaque terme par équivalence des fractions rationnelles :- $ \frac{n^2}{n^2+n} \sim \frac{n^2}{n^2} \xrightarrow[n \to +\infty]{} 1 $
- $ \frac{2n+1}{2(n+1)^2} \sim \frac{2n}{2n^2} = \frac{1}{n} \xrightarrow[n \to +\infty]{} 0 $
- $ n^2 o\left(\frac{1}{n^2}\right) = o(1) \xrightarrow[n \to +\infty]{} 0 $
On retrouve bien le résultat attendu : \[ \lim_{n \to +\infty} e_n = 1 \]