Solution

Pour l'inégalité, l'encadrement $ 1 - t \le \frac{1}{1+t} \le 1 $ (valable pour tout $ t \ge 0 $) donne par intégration sur $ [0, x] $ : \[ x - \frac{x^2}{2} \le \ln(1+x) \le x \]
Posons $ P_n = \prod_{k=1}^{n} \left(1 + \frac{k}{n^2}\right) $. Par passage au logarithme : \[ \ln(P_n) = \sum_{k=1}^{n} \ln\left(1 + \frac{k}{n^2}\right) \]
En appliquant l'inégalité avec $ x = \frac{k}{n^2} \ge 0 $ et en sommant pour $ k $ de $ 1 $ à $ n $ : \[ \sum_{k=1}^{n} \frac{k}{n^2} - \frac{1}{2} \sum_{k=1}^{n} \frac{k^2}{n^4} \le \ln(P_n) \le \sum_{k=1}^{n} \frac{k}{n^2} \]
En utilisant $ \sum_{k=1}^n k = \frac{n(n+1)}{2} $ et $ \sum_{k=1}^n k^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} $, on évalue les limites des bornes :

• Borne supérieure : $ \frac{n(n+1)}{2n^2} \xrightarrow[n \to +\infty]{} \frac{1}{2} $
• Borne inférieure : $ \frac{n(n+1)}{2n^2} - \frac{n(n+1)(2n+1)}{12n^4} \xrightarrow[n \to +\infty]{} \frac{1}{2} - 0 = \frac{1}{2} $

D'après le théorème des gendarmes, $ \lim_{n \to +\infty} \ln(P_n) = \frac{1}{2} $.

Par continuité de la fonction exponentielle, on conclut : \[ \lim_{n \to +\infty} \prod_{k=1}^{n} \left(1 + \frac{k}{n^2}\right) = e^{1/2} = \sqrt{e} \]