Solution SSN 1
Quitte à normaliser la forme quadratique (car $ a \neq 0 $), on peut supposer sans perte de généralité que $ a = 1 $ et remplacer $ b $ par $ 2b $. La condition $ b^2 - 4ac < 0 $ devient alors $ \Delta = b^2 - c < 0 $.

En utilisant la forme canonique, l'expression s'Ă©crit : \[ u_n^2 + 2bu_n v_n + cv_n^2 = (u_n + bv_n)^2 + (c - b^2)v_n^2 \]
Comme $ \Delta < 0 $, on a $ c - b^2 > 0 $. La suite étudiée est la somme de deux termes positifs. Puisque cette somme tend vers $ 0 $, chaque terme doit nécessairement tendre vers $ 0 $ :
  • $ (c - b^2)v_n^2 \to 0 \implies v_n \to 0 $ (car $ c - b^2 > 0 $).
  • $ (u_n + bv_n)^2 \to 0 \implies u_n + bv_n \to 0 $.

Par opération sur les limites, sachant que $ v_n \to 0 $, on conclut immédiatement que $ u_n \to 0 $.