Examen National 2021 (Session Normale)
Partie I : Équation diophantienne
- On vérifie par un calcul direct : \[ 47 \times 11 - 43 \times 12 = 517 - 516 = 1 \] Donc le couple $(11,12)$ est bien une solution particulière de l'équation $(E) : 47x - 43y = 1$.
- Soit $(x,y)$ une solution de l'équation $(E)$. On a le système : \[ \begin{cases} 47x - 43y = 1 \\ 47(11) - 43(12) = 1 \end{cases} \] En soustrayant membre à membre, on trouve : \begin{align*} 47(x-11) - 43(y-12) &= 0 \\ 47(x-11) &= 43(y-12) \end{align*} Puisque $47$ et $43$ sont deux nombres premiers distincts, ils sont premiers entre eux ($47 \land 43 = 1$). D'après le théorème de Gauss : \[ \begin{cases} 47 \mid (y-12) \\ 43 \mid (x-11) \end{cases} \implies \dfrac{y-12}{47} = \dfrac{x-11}{43} = k \quad \text{avec } k \in \mathbb{Z} \] On en déduit l'ensemble des solutions : \[ \begin{cases} x - 11 = 43k \\ y - 12 = 47k \end{cases} \implies \begin{cases} x = 11 + 43k \\ y = 12 + 47k \end{cases} \quad k \in \mathbb{Z} \]
Partie II : Étude de l'équation modulaire $(F)$
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Soit $x$ une solution de l'équation $(F) : x^{41} \equiv 4 \pmod{43}$.
Montrons par l'absurde que $x \land 43 = 1$. Si $x$ et $43$ ne sont pas premiers entre eux, puisque $43$ est un nombre premier, alors $43$ divise nécessairement $x$.
Ceci implique que $x \equiv 0 \pmod{43}$, et donc $x^{41} \equiv 0 \pmod{43}$.
C'est une contradiction flagrante avec l'hypothèse $x^{41} \equiv 4 \pmod{43}$.
Par conséquent, $x$ et $43$ sont bien premiers entre eux.
L'application directe du petit théorème de Fermat donne alors : \[ x^{42} \equiv 1 \pmod{43} \qquad (*) \] -
Si $x$ est solution de l'équation $(F)$, on a $x^{41} \equiv 4 \pmod{43}$.
En multipliant les deux membres par $x$, on trouve : \[ x^{42} \equiv 4x \pmod{43} \] En comparant ce résultat avec la relation $(*)$ obtenue par le théorème de Fermat, il vient : \[ 4x \equiv 1 \pmod{43} \] Pour isoler $x$, multiplions cette équation par $11$ (qui est l'inverse de $4$ modulo $43$ car $44 = 43+1$) : \begin{align*} 44x &\equiv 11 \pmod{43} \\ x &\equiv 11 \pmod{43} \end{align*}
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Soit $x$ une solution de l'équation $(F) : x^{41} \equiv 4 \pmod{43}$.
- D'après ce qui précède, l'ensemble des solutions de l'équation $(F)$ est : \[ S = \{11 + 43k \mid k \in \mathbb{Z}\} \]
Partie III : Résolution du système modulaire $(S)$
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Soit le système d'équations modulaires :
\[ (S) \begin{cases} x^{41} \equiv 4 \pmod{43} \\ x^{47} \equiv 10 \pmod{47} \end{cases} \]
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De la même manière qu'à la Partie II, on peut prouver par l'absurde que $x \land 43 = 1$ et $x \land 47 = 1$.
Puisque $43$ et $47$ sont des nombres premiers, le petit théorème de Fermat donne : \[ \begin{cases} x^{42} \equiv 1 \pmod{43} \\ x^{46} \equiv 1 \pmod{47} \end{cases} \] Le système $(S)$ se simplifie alors considérablement : \begin{align*} (S) \implies \begin{cases} x \equiv 11 \pmod{43} & \text{(d'après la Partie II)} \\ x \cdot x^{46} \equiv 10 \pmod{47} \end{cases} \\ \implies \begin{cases} x \equiv 11 \pmod{43} \\ x \cdot 1 \equiv 10 \pmod{47} \end{cases} \\ \implies \begin{cases} x \equiv 11 \pmod{43} \\ x \equiv 10 \pmod{47} \end{cases} \end{align*} - D'après les congruences précédentes, il existe des entiers $m$ et $n$ tels que : \[ \begin{cases} x = 11 + 43m \\ x = 10 + 47n \end{cases} \] En égalisant les deux expressions de $x$, on obtient : \begin{align*} 10 + 47n &= 11 + 43m \\ 47n - 43m &= 1 \end{align*} D'après la Partie I, les solutions de cette équation diophantienne sont de la forme : \[ \begin{cases} n = 11 + 43k \\ m = 12 + 47k \end{cases} \quad k \in \mathbb{Z} \] En substituant $m$ dans l'expression initiale de $x$ : \begin{align*} x &= 11 + 43(12 + 47k) \\ x &= 11 + 516 + 2021k \\ x &= 527 + 2021k \end{align*} Ce qui équivaut à : $x \equiv 527 \pmod{2021}$.
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De la même manière qu'à la Partie II, on peut prouver par l'absurde que $x \land 43 = 1$ et $x \land 47 = 1$.
- L'ensemble des solutions du système $(S)$ est donc : \[ S = \{527 + 2021k \mid k \in \mathbb{Z}\} \]