Examen National 2021 Session Normale
Partie I :
On considère dans $\mathbb{Z}\times\mathbb{Z}$ l'équation $(E) : 47x-43y=1$
  1. Vérifier que le couple $(11,12)$ est une solution particulière de l'équation $(E)$
  2. Résoudre dans $\mathbb{Z}\times \mathbb{Z}$ l'équation $(E)$.
Partie II :
On considère dans $\mathbb{Z}$ l'équation $(F) : x^{41}=4\pmod{43}$
  1. Soit $x\in\mathbb{Z}$ une solution de l'équation $(F)$
    1. Montrer que $x$ et $43$ sont premiers entre eux, en déduire que : $x^{42}=1\pmod{43}$
    2. Montrer que : $4x=1\pmod{43}$, en déduire que : $x=11\pmod{43}$
  2. Donner l'ensemble des solutions dans $\mathbb{Z}$ de l'équation $(F)$.
Partie III :
On considère dans $\mathbb{Z}$ le système à deux équations suivant : \[ (S)\quad\begin{cases} x^{41}=4\pmod{43}\\ x^{47}=10\pmod{47} \end{cases} \]
  1. Soit $x$ une solution de $(S)$.
    1. Montrer que $x$ est solution du système $(S') : \begin{cases} x=11\pmod{43}\\ x=10\pmod{47} \end{cases}$
    2. En déduire que : $x=527\pmod{2021}$ (On pourra utiliser la partie I)
  2. Donner l'ensemble des solutions dans $\mathbb{Z}$ du système $(S)$