Examen National 2020 (Session de Normale) :
-
Soit $(x,y)$ une solution de l'équation $(D) : 7x^3 - 13y = 5$.
-
Montrons par l'absurde que $x \land 13 = 1$.
Puisque $13$ est premier, si le PGCD de $x$ et $13$ n'est pas $1$, alors nécessairement $x \land 13 = 13$.
Ceci implique qu'il existe un entier $x'$ tel que $x = 13x'$.
En remplaçant dans $(D)$ : \begin{align*} 7(13x')^3 - 13y &= 5 \\ 13(7 \times 13^2 x'^3 - y) &= 5 \end{align*} Ceci implique que $13$ divise $5$, contradiction !
Par conséquent, $x$ et $13$ sont bien premiers entre eux. - Puisque $13$ est un nombre premier et que $x \land 13 = 1$, l'application directe du petit théorème de Fermat donne : \[ x^{12} \equiv 1 \pmod{13} \]
- En écrivant l'équation $(D)$ modulo $13$, on obtient : \[ 7x^3 \equiv 5 \pmod{13} \] En multipliant les deux membres par $2$ : \begin{align*} 14x^3 &\equiv 10 \pmod{13} \\ x^3 &\equiv 10 \pmod{13} \qquad (\text{car } 14 \equiv 1 \pmod{13}) \end{align*}
-
En élevant l'égalité précédente à la puissance $4$, on obtient :
\begin{align*}
(x^3)^4 &\equiv 10^4 \pmod{13} \\
x^{12} &\equiv (2 \times 5)^4 \pmod{13} \\
x^{12} &\equiv 2^4 \times (5^2)^2 \pmod{13}
\end{align*}
Or, on a $2^4 = 16 \equiv 3 \pmod{13}$ et $5^2 = 25 \equiv -1 \pmod{13}$.
En remplaçant : \begin{align*} x^{12} &\equiv 3 \times (-1)^2 \pmod{13} \\ x^{12} &\equiv 3 \pmod{13} \end{align*}
-
Montrons par l'absurde que $x \land 13 = 1$.
-
Dans ce qui précède, nous avons prouvé que si $(x,y)$ est une solution de l'équation $(D)$, on doit avoir simultanément :
\[ x^{12} \equiv 1 \pmod{13} \quad \text{et} \quad x^{12} \equiv 3 \pmod{13} \]
Ceci impliquerait que $1 \equiv 3 \pmod{13}$, ce qui est impossible.
On en déduit que l'équation $(D)$ n'admet aucune solution dans $\mathbb{Z}^2$.