On considère dans $\mathbb{Z}\times\mathbb{Z}$ l'équation $(D) : 7x^3-13y=5$
  1. Soit $(x,y)\in\mathbb{Z}\times\mathbb{Z}$ une solution de l'équation $(D)$.
    1. Montrer que $x$ et $13$ sont premiers entre eux
    2. En déduire que : $x^{12}\equiv 1\pmod{13}$
    3. Montrer que : $x^{3}\equiv 10\pmod{13}$
    4. En déduire que : $x^{12}\equiv 3\pmod{13}$
  2. Déduire des questions précédentes que l'équation $(D)$ n'admet pas de solution dans $\mathbb{Z}\times\mathbb{Z}$