1. En développant le produit complexe et en séparant les parties réelle et imaginaire, on obtient : \begin{align*} (x+i)(y+i)(z+i) &= (xy + xi + yi - 1)(z+i) \\ &= xyz + xy i + xz i - x + yz i - y - z - i \\ &= xyz - (x+y+z) + (xy+xz+yz-1)i \end{align*} En tenant compte de l'hypothÚse de l'énoncé, on a : $xy+xz+yz = 1$.
    Le terme imaginaire s'annule donc parfaitement, et il vient : \[ (x+i)(y+i)(z+i) = xyz - (x+y+z) \] Puisque $x, y$ et $z$ sont des entiers, cette expression est bien un nombre entier relatif.
  2. En passant au carré du module de l'égalité précédente, on obtient : \[ \left|(x+i)(y+i)(z+i)\right|^2 = (xyz-(x+y+z))^2 \] Or, le module d'un produit complexe est égal au produit de ses modules : \begin{align*} \left|(x+i)(y+i)(z+i)\right|^2 &= |x+i|^2 \times |y+i|^2 \times |z+i|^2 \\ &= (x^2+1)(y^2+1)(z^2+1) \end{align*} En identifiant les deux résultats, on en déduit l'égalité : \[ (x^2+1)(y^2+1)(z^2+1) = (xyz-(x+y+z))^2 \] Puisque le terme de droite est le carré d'un entier relatif, l'expression $(x^2+1)(y^2+1)(z^2+1)$ est bien un carré parfait.